实变函数试题集锦实变函数试题集锦.docVIP

实变函数测试题集锦 一、填空题 设, , 则. ,因为存在两个集合之间的一一映射为 . 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，. 若集合满足, 则为集. 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足: , . 设使闭区间中的全体无理数集, 则. 若, 则说在上 . 设, ,若,则称是的聚点. 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于. 设,, 则的子列, 使得. 11. = . 12.= . 13. 到的双射是 . 14. 的全体聚点所组成的集合包含于的充要条件是 . 15. 中无理数集的外测度为 . 16. 中所有开集生成的代数记为B，称B中的集合为 . 17. 若，则对任意的点集，必有 . 18. 当为闭区间时， . 19. 设函数在可测集上几乎处处有限，若对任意给定的，存在中的一个闭集，使，且在上连续，则是可测集上的 . 20. 是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写） . 21．如果 则称是自密集，如果 则称是开集，如 果则称是 . 22．设表示为一列开集之交集：，则称为 . 23. 若表示为一列闭集之并集：，则称为 . 24. ()，在上可测，则= . 25. Cantor集的外测度为 . 26．(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数，则 . 二、判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 若可测, 且,则. 设为点集, , 则是的外点. 点集的闭集. 任意多个闭集的并集是闭集. 若,满足, 则为无限集合. 6. 若与它的真子集对等，则一定是有限集． 7. 凡非负可测函数都是可积的． 　　　　　 8.设为空间中一非空集，若则 9.设为可测集，则存在型集，使得，且． 10.在上可积，则在可积且 三、 计算证明题 1. 证明: 2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集. 设是集, . 求. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求 . 求极限: . 7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集． 8.上全体有理数点集的外测度为零． 9.设函数列在上依测度收敛，且于，则于． 10.设在上可积，则． 11. . 12、证明 。 证明：设，则，使一切，，所以, 则可知。设，则有,使，所以 。 因此，=。 13、设。求在内的，，。 解：， ， 。 14、若，对，存在开集, 使得且满足 ， 证明是可测集。 证明：对任何正整数， 由条件存在开集，使得。 令,则是可测集，又因， 对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。 15、试构造一个闭的疏朗的集合，。 解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时， 一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 。 所以最后所得集合的测度为，即。 16、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于。 证明 因为，则存在，使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到， 且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集外，收敛于，就是 a.e. 收敛到。 17、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列 连续函数，使得 于。 证明： 因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子 集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当 时有=。 所以对任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得