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第三篇 代数系统 信息科学与工程学院 王新红 代数系统简介 人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程，往往要借助于一些数学工具。这些现象或过程，就是我们的研究对象。描述时，需要建立适当的模型。从物理学角度考虑，就是建立该模型的运动方程（这通常由微分方程表述，反映的是研究对象的运动规律）。从数学角度考虑，需要建立合适的数学描述语言，或适当的数学结构，可以较为准确地描述研究对象。 代数系统简介 合适的数学结构相当重要。在微积分中，可以用导数描述质点运动的速度，可以用定积分来计算面积、体积等；在代数学中，可以用正整数集合上的加法运算来描述工厂产品的累计数，用集合之间的“交”、“并”运算来描述人和人之间的关系等。 代数系统简介 我们要研究的是一类特殊的数学结构──由集合上定义若干个运算而组成的系统。称为代数系统。 代数系统简介 代数系统的一般形式是：（A, f1, f2, …, fn）。其中A是一个非空集合，f1, f2, …, fn是定义在A上的运算（close）。fi可以是一元运算（unitary operation）、二元运算（binary operation）、三元运算等，即n-元运算（n-nary operation）。 代数系统简介 我们将要讨论的数学结构包括：群（group，涉及到对称性，symmetry）、环（ring）和域（field）、格（lattice，涉及到布尔代数，Boolean algebra）。 实际上，我们已学过一些代数结构，如:N, +, R, {-, +, –, ?}等。N: set of natural number, R: set of real number, -: negation. 代数系统 代数系统的运算（运算表）和性质 代数系统之间的关系：同态和同构 典型的代数系统： 广群，半群，含幺半群（独异点），群， 环与域 布尔代数 框架 引言 代数系统----由集合上定义若干运算而组成的系统： {原子命题}+5个联结词 {二元关系}+关系的并、交、补、差+关系复合、关系的逆、关系的闭包 代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统 这些代数系统中的运算又具有某些性质，从而确定了这些代数系统的数学结构。 第五章 代数结构 代数系统的引入 运算及其性质 具有一个二元运算的代数系统 半群 群 同态与同构---两个同型代数系统之间的联系 具有两个二元运算的代数系统 环 域 5-1 代数结构(系统)的概念 所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合，和若干个运算，构成的系统。 5-1 代数结构(系统)的概念 所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算,先看几个我们熟悉的例子：整数集合I上 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 和N上的“+、×” 5-1 代数结构(系统)的概念 1.定义：设X是个集合，f:Xn?Y是个映射，则称f 是X上 的n元运算。(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)， 如果Y?X，则称运算f 在X上是封闭的。 f:X?Y 是个一元运算。前面的-、~是一元运算。 f:X2?Y 是个二元运算。+×÷∧∨∪∩是二元运算。 思考题：下面说法是否正确？ 减法－是N上封闭的二元运算。 除法÷是整数 I上的二元运算。 除法÷是实数 R上的二元运算。 这里我们主要讨论二元运算。 5-1 代数结构(系统)的概念 2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b} P(E)上的∩ 运算表如图所示。 5-1 代数结构(系统)的概念 二.代数系统的概念 1.代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=X, f1,f2,…fm ( m≥1) 注意：这m个运算f1,f2,…fm的元数可能各不相同, 比如f1是一元运算，f2是二元运算,…,fm是k元运算。 例如 N,+,×，I, -,+,－,×，P(E), ~,∪,∩,? 2.有限代数系统： U=X, f1,f2,…fm 是个代数系统，如果X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。 例如上边的X={S,R,A,L}，X，?是个有限代数系统。 3. 同类型代数系统：给定两个代数系统U=X, f1,f2,…fm ，V=Y, g1,g2,…gm 如对应的运算fi和 gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则称U与V是同类型代数系统。 例如P(E)，~,∩,∪ {T,F}，? ,∧,∨ P179例题4：设集合A={?,?}，在A上定义两个二元运算*和?，