《数学物理方程第三章-幂级数展开.ppt

阜师院数科院 * 函数有精确表示和近似表示。 精确表示（解析表示）： 表示为初等函数通过四则运算 近似表示： 逼近 近似表示为初等函数通过四则运算 级数表示 表示为一个函数级数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第三章 幂级数展开 复数项级数； 变项级数（函数级数）； 幂级数； 幂级数对复变函数研究的应用： 泰勒级数； 洛朗级数，函数的奇异性研究。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3.1 复数项级数 级数是无穷项的和 1. 级数的收敛和柯西判据 复无穷级数 每一项为 收敛 如果极限 存在并有限 收敛： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 充要条件是其实部与虚部都收敛 柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小的正整数 ，必存在一 N 使得 nN 时有 式中 p 为任意正整数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2. 绝对收敛 收敛。 两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。 3. 复变项级数 的每一项都是复变函数。 实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。 则原级数 收敛。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。 收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。 它满足柯西判据： 复数项级数收敛的充要条件是，对于一小正整数 ，必存在一 N(z) 使得 nN(z) 时有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一致收敛 当 N 与 z 无关时。 即对 B 中所有点 给定 ，就有一个统一的 N 使判据得到满足。 一致收敛的级数的每一项若为连续函数，级数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积分。 绝对一致收敛 在区域 B 中，复数项级数的各项满足 而数项级数 收敛。 即在各点都绝对收敛 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 给定 收敛，但与 z 的位置有关。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3.2 幂级数 幂函数的复变项级数 对于各复常数 级数 叫以 为中心的幂级数。 1. 定义 (3.2.1) z0 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2. 收敛的达朗贝尔判据 研究(3.2.1) 的 模的如下级数 满足 则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对收敛。 (3.2.1) (3.2.2) Evaluation only. Created with Aspose.