3.2.1简单线性规划3.3.2.1简单线性规划.docVIP

简单的线性规划 学习目的： 1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 3．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力 学习重点：用图解法解决简单的线性规划问题. 学习难点：准确求得线性规划问题的最优解 课堂过程： 一、复习引入： 1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 2．先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线:2x+y=0 然后，作一组与直线的平行的直线：:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线），从而观察t值的变化： 二、讲解新课： 1. 请同学们来看这样一个问题: 设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件 求t的最大值和最小值 分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC. 作一组与直线的平行的直线：:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线），从而观察t值的变化： 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0. 点（0，0）在直线：2x+y=0上. 作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):2x+y=t,t∈R. 可知，当在的右上方时，直线上的点（x,y)满足2x+y＞0, 即t＞0. 而且，直线往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）. 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线所对应的t最小.所以： =2×5+2=12,=2×1+3=3 2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 三、讲解范例： 例1 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点 解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组 得C（）， 令t=300x+900y， 即y=-, 欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-与直线y=-x平行，故作与y=-x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500 例2求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件的整数值. 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解：可行域如图所示： 四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组： 得点C的坐标为（69,91) 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69000 例3 已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值 解