2014年高考数学第一轮复习：导数及其应用.docVIP

2014年高考数学轮复习：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 2．若曲线处的切线互相垂直，则x0等于( ) A． B． C． D． 【答案】A 3．已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上图所示。当1＜a2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 4．曲线在点处的切线的斜率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 5．的值是( ) A． B． C． D． 【答案】A 6．,若,则=( ) A． B． C． D． 【答案】D 7．若，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 8．函数处的切线的斜率为( ) A． B． C． D．1 【答案】C 9．由，及轴围成的图形的面积为( ) A．28 B．26 C．30 D． 【答案】A 10．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于( ) A．4 B． C． D． 【答案】C 11．设函数f（x）＝ax2＋b（a≠0），若f（x）dx＝3f（x0），则x0＝( ) A．±1 B． C．± D．2 【答案】C 12．已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为( ) A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数的导函数为，且满足，则　　。 【答案】6 14．已知函数,则函数的图象在点处的切线方程是 . 【答案】4x-y-8=0 15．曲线与轴所围成的图形的面积为 ． 【答案】 16．=__________． 【答案】 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数，，设函数. (Ⅰ）当时，求的单调区间； (Ⅱ）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积； (Ⅲ）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在， 请说明理由． 【答案】1）当. ∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，[ (2）切线的斜率为， ∴ 切线方程为. 所求封闭图形面积为 . (3）， 令. 若，，则在R上单调递减，不存在极大值，舍去； 若,列表如下： 由表可知， 设，∴上是增函数， ∴，即， ∴不存在实数a，使极大值为3. 18．已知函数，. (1)如果函数在上是单调增函数，求的取值范围； (2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，符合题意． 当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，所以，解得或，所以． 当时，不符合题意． 综上，的取值范围是． (Ⅱ）把方程整理为， 即为方程. 设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. 令，因为，解得或（舍） 当时, , 是减函数；当时, ，是增函数. 在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 即 ∴ 解得, 所以的取值范围是() ． 19．已知是函数的一个极值点． (1）求的值； (2）任意，时，证明： 【答案】（1）， 由已知得，解得． 当时，，在处取得极小值．所以. (2）由（1）知，，. 当时，，在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增. 所以在区间上，的最小值为. 又，， 所以在区间上，的最大值为. 对于，有． 所以. 20．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3x6，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ）求的值； (Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以 (Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 . 从而，， 于是，当x变化时，的变化情况如下表： 由上表可得，x=4是函数在区