7.7.4 圆的方程.docVIP

圆的方程（4） 一．课题：圆的方程（4） 二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程； 2.理解参数的意义； 3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程； 4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题． 三．教学重、难点：目标1、3、4． 四．教学过程： （一）复习：圆的标准方程和一般方程． （二）新课讲解：（点题：圆的参数方程） 1．圆的参数方程的推导 设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系： 当确定时，点在圆上的位置也随着确定； 当变化时，点在圆上的位置也随着变化． 这说明，点的坐标随着的变化而变化． 设点的坐标是，你能否将、分别 表示成以为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，， ① 显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点 都在圆上。 我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数 方程，是参数． 圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？ 圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图）， 由可以得到圆心为， 半径为的圆的参数方程是 （为参数）② 2．参数方程的概念 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是 某个变数的函数，即　③ 并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数． 3．参数方程和普通方程的互化 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程． 将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化． 如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程． 4．练习：，练习1，2． （三）例题分析： 例1．把下列参数方程化为普通方程： （1） （为参数） （2） （为参数） 解：（1）， 由得，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得，把代入得， 化简得：（），这就是所求的普通方程． 说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系， 保持等价性． 例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？ 解：设点，∵圆的参数方程为， ∴设点，由线段中点坐标公式得， 即点轨迹的参数方程为， ∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆． 【】，， ∵点是线段的中点，∴，∴， ∵点在圆上，∴，∴， 即点的轨迹方程为， ∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆． 例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值． 解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，）， （1）， ∴当，即时，． （2）， ∴当，即时，． 说明：本题也可数形结合解． 五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）； 2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）； 3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性． 六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题； 补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，求的取值范围． - 1 -