6.6 关注三角形的外角教案 新课标.docVIP

§6.6 关注三角形的外角 教学目标 1．知识目标：理解三角形的外角的概念及三角形的内角和定理的两个推论. 2．能力目标：通过三角形内角和定理的推论的推导过程，进一步培养学生的推理能力. 3．情感目标：通过三角形内角和定理的推论的推导过程，培养学生的推理能力. 教学重点 三角形内角和定理的推论的推导 教学难点 三角形内角和定理的推论的应用. 教学方法 引导探索法. 教学过程 1．创设情境，自然引入 前面我们证明了三角形内角和定理，它的证明思路是通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°. 在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角，如图6.6（1）. 那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用. 2．设问质疑，探究尝试 通过前面的描述，可以得到三角形的外角的定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上. （2）一条边是三角形的一边. （3）另一条边是三角形某条边的延长线. 把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.得到：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的三个外角的性质. 如图6.6（2），∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？ ∵∠1+∠4=180°, ∠2+∠3+∠4=180° ∴∠2+∠3=180°－∠4 ∠1=180°－∠4 ∴ ∠1=∠2+∠3 ∠1∠2,∠1∠3. 把结论归纳成语言为： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角. 在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）. 因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用. 注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.3 3．变式训练，巩固提高 例1．已知：如图6.6（3），在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C， 求证：AD∥BC. 证明：（方法一） ∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C ∴∠B=∠EAC（等式的性质） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 证明：（方法二） ∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C=∠EAC（等式的性质） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 证明：（方法三） ∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C=∠EAC（等式的性质） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理） ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换） 即：∠B+∠DAB=180° ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） 例2．已知：如图6.6（4），在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE. 求证：∠1∠2. 证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知） ∴∠1∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠3是△CDE的一个外角（已知） ∴∠3∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1∠2（不等式的性质） 例3．已知：如图6.6（5），在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求∠B和∠ACB的度数. 解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠DCA=100°,∠A=45°（已知） ∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质） ∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°） ∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质） ∵∠DCA=100°（已知） ∴∠ACB=80°（等量代换） 例4．如图6.6（6），求证：（1）∠BDC∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A. 如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？ 证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图6.6（7）， 则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个