6.判别式法.docVIP

6.判别式法 把函数转化为关于x的二次方程通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法。判别式法是中学数学中的一种常用方法. 一．它在平面解析几何中有下列应用： (一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系 它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题) 点、l为准线的抛物线方程为y2=2px． 椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组 y2=2px 有四个不同的实数解． 显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根． 设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为 又由已知，得p＞0??????????????????????????????????????????????????????????????? ⑤ 【解说】 ?本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ (二)求极值 例2 ?过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S的最小值． 【解】? 如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为 从而9k2+2(S-6)k+4=0．∵? Δ=[2(S-6)]2-4×4×9≥0， ∴? S(S-12)≥0．∵? S＞0，∴S≥12． ∴? Smin=12． 例3 ?在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值． 【解】? 设x+y=u，则y=u-x． 把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(u2-9)=0． ∵? x是实数，∴ Δ≥0即(-8u)2-4×13×4(u2-9)≥0．解之，得- (三)求参数的取值范围 例4? 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围． 【解法1】? 如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得 以上两式相减，得x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)． ∵? 点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0- ∵? P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实 二．它在代数中有下列应用 1.判断方程实根的个数。这个大家都比较熟悉，我就不再祥讲。 2．求函数的值域。 例5:求函数值域。 【解】由得 当y=0时，x=0;当,∵方程有实根, ∴ ∴函数值域为 【解说】形如的函数的值域常用此方法。 【练】 求函数值域 若函数的最大值为4，最小值为-1,求实数a,b的值。 【简解】 1小题： 2小题：去分母得， ∴方程=0的两根为-1,4.再由韦达定理可得a=-4,b=3,或a=4,b=3..