2009年高考数学第一轮复习2.6.反函数.docVIP

2009年高考第一轮复习数学2.6.反函数 一.高考要求 1. 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。与的性质解决一些问题． 2.不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数． 其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．的定义域为，值域为，由求出.如果对于中每个值，在中都有唯一的值和它对应，那么为以为自变量的函数，叫做的反函数，记作，（） 反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与 互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，； 互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称． 一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.周期函数在整个定义域内不存在反函数. （二）主要方法： 求反函数的一般步骤：求原函数的值域；反解，由解出； 写出反函数的解析式（互换），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成. 若函数与互为反函数，且在的图像上，则在图像上。 若函数与互为反函数，若，则. 求证一个函数的图象关于成轴对称图形，只须证明. 三.典例剖析 考点一：反函数的求法 例1求下列函数的反函数 考点二：函数与反函数图像间的关系 例2函数（）图象与其反函数图象的交点为　　　　 解：解法一： 所以所求的交点为（0，0）和（1，1） 例3　若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值． 解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上， ∴，∴，∴． 变式训练1（08年湖南13）.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 . 【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点 例4．设函数，又函数与的图象关于对称， 求的值． 解法一：由得，∴，， ∴与互为反函数，由，得． 解法二：由得，∴，∴． 例5 (1)已知函数y=ax+b的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),求a的值. (2)已知f(x)=,求f-1(). 解:(1)由函数y=ax+b的图象过点A(1,4),得a+b=4. ① 由y=ax+b的反函数的图象过点(2,0),则原来的函数图象过点(0,2), 所以a0+b=2. ② 解①②,得a=3,b=1. (2)由=,得2-2·2x=1+2x, 所以3·2x=1. 所以2x=. 所以x=log2,即f-1()=log2. 变式训练2（08年高考陕西7）．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ） A． B．1 C．4 D．10 解：于是 考点三：反函数的综合应用 例6函数的图象关于对称，求的值． 解：由得， ∴， 由题知：，，∴． 变式训练2（08年全国6）．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 解：B.由； 例7．已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式． 解：（1）由题知，得， 此时， 即为奇函数． （2）∵，得， ∴． （3）∵，∴，∴， ①当时，原不等式的解集， ②当时，原不等式的解集． 四.走进高考： (高考)函数的反函数 是奇函数,在上是减函数 是偶函数,在上是减函数 是奇函数,在上是增函数 是偶函数,在上是增函数 （安徽）下列函数中，反函数是其自身的函数为 （山东）函数的反函数图像大致是 4（湖北文）函数的反函数是（　　） 5（陕西文）设函数的反函数为，则函数的图象是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6（湖北）已知函数的反函数是，则 ； 7.（全国Ⅱ) 函数 反函数是 - = =- 8.（辽宁）函数）的反函数是 9.（08天津7）设函数的反函数为，则 (A) 在其定义域上是增函数