2009届高三数学一轮复习求解函数解析式的几种常用方法.docVIP

2009届一轮复习求解函数解析式的几种常用方法 高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2.换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 典型题例示范讲解: 例1.(1)已知函数f(x)满足f(logax)=.(其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式. (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=logax(a1,t0;0a1,t0),则x=at. 因此f(t)=.(at－a－t) ∴f(x)=(ax－a－x)(a1,x0;0a1,x0) (2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c 得 并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为. f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1 或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1. 例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象. 命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型. 知识依托:函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线. 错解分析:本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法:合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式. 解:(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b ∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2. (2)当－1x1时，设f(x)=ax2+2. ∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1 ∴f(x)=－x2+2. (3)当x≥1时，f(x)=－x+2 综上可知:f(x)=作图由读者来完成. 例3已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1). 解法一:(换元法） ∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1 令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u ∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3) ∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4) 解法二:(配凑法） f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5 ∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3), 即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4). 学生巩固练习: 1.若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( ) A 3 B C － D －3 2.设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x1时f(x)等于( ) A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1 C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1 3.已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_________. 4.已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________. 5.设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式. 6.设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2