2008高考数学探索性问题研究.docVIP

2008年高考探索性问题研究 一 类型 常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题； （1）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论； （2）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的； （3）全开放型，题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来。 解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标；深刻理解题意;开阔思路,发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向。方向确定后，又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略。 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般解这类问题有如下方法： （1）直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，寻求结论；假设结论存在（或不存在），然后经过推理求得符合条件的结果（或导出矛盾）等； （2）观察——猜测——证明 （3）特殊—一般—特殊 其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题； （4）联想类比 （5）赋值推断 （6）几何意义法 几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论，由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决； 例1．与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 。 解析：，并且与相交，并且与相交是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交，并且与相交 例2．（2000年全国高考试题）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_____________（要求把可能的图形的序号都填上） 分析：本题为结论探索型的试题，要求有一定的空间想象能力。 解析：由于正方体的6个面可分为互为平行的三对，而四边形BFD1E的在互为平行的平面上的射影相同，因此可把问题分为三类：a：在上、下两面上的射影为图②；b：在前、后两面上的射影为图②；c：在左、右两面上的射影为图③. 综上可知，在正方体各面上的射影是图②或图③。 点评：这也是一道结论探索型问题，结论不唯一，应从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论。 例3．已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由. 分析：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力. 解析：（1）∵f(x)是奇函数， ∴f(–x)=－f(x)，即，∴－bx+c=－bx–c，∴c=0， ∴f(x)=.由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0， 当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得. ∴x＞0时，当且仅当 即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2 ① 又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ② 把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= （2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称， P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0 解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()， 进而相应Q点坐标为Q（）或Q()， 过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求。 点评：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证。 例4．观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 答案：sin2α+cos2(α+30°)