微积分本复习题.docVIP

重修复习题一 多元函数的微分 1、 2 2、 3、 . 4、函数的定义域为 5、设，则= 6、设，其中是由确定的隐函数，则= . 7、设，则= . 8、设，求。 9、求函数的全微分. 10、设，且，，求全导数。 11、设，讨论在处是否连续？ 知识点：二元函数连续 思路：若，则函数在连续。讨论处二重极限的存在性，若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。 解：若沿轴趋于，则 若沿轴趋于，则 故不存在，从而函数在处是不连续。 12、设函数，由方程所确定，其中为可微函数，则= . 13、函数的极值点为 ，函数在该点处取得极 值. ，小 14．求函数在条件下的极值。 15。求函数的极值。 16. 证明极限不存在. 证：取 ，则 ，易见极限会随值的变化而变化，故原式极限不存在。 17. 设 ，求 。 解： 法一： ，； 法二： ， 18.设 ，求 知识点：多元分段函数偏导数。 思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。 解：当时， 不存在。 当 时， 19. 设，而，求 解： 20. 设，而，求 解： 21.设，求 解： 令 则函数可看为复合而成的函数，从而 22. 已知，求。 知识点：隐函数求导。 思路：设左端函数为，先求出，代入。 解 ：设 ， ， 所以 23. 求曲线在处的切线方程与法平面方程。 解： 又 时 ， 故 曲线在处的切向量 于是，所求切线方程为 法平面方程为 24. 求函数的极值。 知识点：多元函数极值 思路：解方程组得出函数的驻点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处A,B,C 的值，依据符号判定是否为极值点。 解：解方程组 由得，代入得 ，故 故有两驻点 又 ， 驻点 ，，，故不是极值点； 驻点， ，，又，所以函数在点处取得极大值。 25. 欲围一个面积为60平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最省？ 方法一： 知识点：多元函数条件极值 思路：根据题意给出目标函数（材料费）及约束条件（面积60），根据拉格朗日乘数法求解。 解：设场地的长为米，宽为米，则问题归结为在约束条件 下求的最小值。 作拉格朗日函数 由（1），（2）可得 代入（3）得 ， 由问题本身的意义知，该点就是所求最小值。即当长为，宽为时所用材料费最省。 方法二： （一元函数最值） 设场地的长为米，则宽为米，由题意知目标函数为， 令 ，得唯一驻点 又 ，故为极小值点，由实际问题可知即为最小值点。 即当长为，宽为时所用材料费最省。 26. 某工长生产两种产品A与B，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品A与生产y单位的产品B的总费用是 （元） 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？ 解：利润函数 ，得：， 又 ，， ，故，为极大值点，由问题的实际意义知，也为最大值点。 即当生产120件产品A，80件产品B时所得利润最大。 *****************************************************************