李代數的一般根论.doc

湖南大学 硕士学位论文 李代数的一般根论 姓名：李俊钦 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：张寿传  ?????齃是单的李代数，并????鵵???． ??桥し律淅畲???￡?腂就?桓鵱????篎??渲蠪为特征为零的代数 【??，??】：?綼，??妒?冢琤?，妒?冢琤????琤?， 对任何?琤∈?￡??敲炊杂谒?拿扛隼硐耄??即嬖冢?????沟茫?痕??．  ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?????? ?￡??????猲???? ?????????? ?? ?? ?琇 ????? ?????????? ??????????????????甧?? ? ??：????  硕十学位论文 广泛的应用???????????．研究李代数不仅仅局限于研究李代数的结构和表 二十世纪六十年代末，美国数学家?甂?和加拿大数学家?甅??各自独立 的引入了??狹??代数???，?，??．??蚆??把有限维复半单李代数 数学分支的研究中扮演着重要的角色，并且它在这些领域中都有着广泛的应用． 数理论的基础性和重要性与日俱增．  意义．  硕十学位论文 仿射李代数￡???鵅??桓鵵?、。??篎??渲蠪是特征为零的代数封闭的域， 根即下根．一表示同态，??表示基数，?表示?乃?凶蛹?募?希甅为李代  跟定理的证明． ???瑉】?，对?谒?械膠； ??扛，囟，???，??小?忙，??伞俊????桑瑉∈?． 反交换性：????琘】?话ⅲ瑉】． ?且桓鲇邢尬?畲??除特别指出外??绻鹹是一个向量空间， 在如下的括号运算成为李代数： 扛，引??豢蓏 ?．它的子李代数被 称，是?睦硐搿＜俏#琿 定义??．对任何?琘∈??颐嵌ㄒ逡桓龃由希?絃的映射??缦?  硕十学位论文 则称妒为同态． 若，???，妒被称为满同态． 定义??．?淖酝?咕褪荓到自身上的同构． 设?歉隼畲??灾剩?哂行灾蕆的李代数将被称为?焕畲???颐羌偕鑢一  证明．因为，，?綥，现作 ， ，? ??琁】?，明?綴，刀??。????． ?篒 扯?疛  ?，?痵】?綴，∥卅??，∥，】 ．口 性质??知，?疪??莚一李代数，由李代数的?灾?兄?知，??疪????，从  证明．因为 ????／??皇?／? 妒：?÷????， 所以由李代数的?灾???茫???彩莚一理想． 定理???甊??∑??司?珺是?焕硐? ??，从而右∈??，而??∈右．所以  ??????型?????? ???????????／???肂／??????疌?????? ???颉綬??，?縢 ?匀籌?琑??】???荌的右理想．定义 ? ??秒??妒?????琘??兄???陋，??冗??????】?琘???? 由妒?蒷????????耽?且 妒：??一????驯???／?? 以【￡，?，?浚篊  以???，从而得证． 证明．设??是?膔一李代数，则由???’一半单性有???築．现考虑同构 ?是?焕畲???彩莚一李代数的同态象．所以 ???／??? 证明．因为 ? ???痗 是半单李代数?疌的理想，所以??????也是半单李代数?疌的理想，从 是?话氲サ模?渲蠦??凇蔎鼠．  硕十学位论文 Ⅳ?? 所以，??菏莚一半单的． ?Ⅳ可解，，那么兄??可解． ???????苳???Ⅳ可解’，所以亿?? ??琚?∈Ⅳ?省??山饫畲??舻纳?矗?鱊??撸?敲碞 ???如果李代数?拿扛龇橇阃??蟀??桓龇橇愕膔一理想，那么??．一 李代数． 然?拿扛龇橇阃??蟀??橇鉹一理想，但这不可能．因为若?皇莚一根李代 矛盾． ??若?歉?灾剩?衣?：???，???．现证?猜???????????蛭?? 所以存在￡的一个?焕硐難，?譬??蛴赏?苟ɡ碛???／?糤? ?賧?譬?，所以???疺??畲?齳的非零同态象．则由???  ?????疪??肳／???? ??司??琘?，??保琿 ?， ? ? ? 证明．若，?嗜纾?蛴啥ɡ?．?知，?母鵕???侨绲囊桓隼硐耄甔???歉鰎一 ??，?／忘竺五／?? ??． 因为??丘??谑莚一根性质．所以 ?／?  硕十学位论文 我们在所有结合李代数组成的类中讨论根的一般理论． 也就是给定一个李代数类． 定义????衾畲?齃中有一个最大?一理想，，即，本身是??焕硐肭遥??琇 想时，就称?莚一半单李代数，若李代数?膔一根存在且等于?旧硎薄＞统芁 给出?桓?畲??蛂?半单李代数之间的关系． ???鐃??知，李代数己有?桓???鬖≠??騃主???#琇与?疘同态，而?疘 代数． ??虺?，???渲蠷??牵?膔一根． 证明．???，??舨蝗唬?虿环辽璐嬖趜∈?沟胮，?縢 ???铱福珹】?