第七章正则方程课件.pptVIP

* * 本章重点:用哈密顿方法建立理想完整约束的有势系的运动微分方程,并通过哈密顿函数判断广义能量积分和广义动量积分. 第七章 哈密顿动力学 主要内容: 正则方程 泊松括号（自学） 正则变换 哈密顿-雅可比方程和分析力学发 展情况简介（自学） §9.1 正则方程 本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一种形式的动力学方程,即正则方程。---------这种方法称为哈密顿方法（或称哈密顿表述）. ------------这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶 微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组. 第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日 方程来研究力学系统的运动. 一. 勒让德变换 在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换, 叫勒襄特变换. 设函数 , 令: ------------这是新变量与新函数应满足的方程。 以上所述把 称为勒让德变换, 这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中， 从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。 二. 正则方程 对于哈密顿量： ——-哈密顿正则方程,它是一阶微分方程,且形式对称. 由于 相互独立的, 所以 说明如果L不显含时间, H也不显含时间. 思考:正则方程是否适用任何系统? 正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系. 结合初始条件,得到描述力学 系统运动状态的运动方程: [例] 一质量为m的自由质点,受力 为位矢, k为大于零的常数.运用正则方程,写出在直角坐标系中 质点的运动微分方程。 解: 取x，y，z为广义坐标。动能为 代入哈密顿函数的定义式中,得 将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程: 得到质点的运动微分方程 应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结: 检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度,选择 适当的广义坐标. 2)写出系统相对惯性系的动能和势能,得到 并求出广义动量 ,由此反解出 3)通过 ,并利用 得到 4)将H 代入正则方程中,得出系统的运动方程. 哈密顿动力学与拉格朗日动力学比较：在拉格朗日动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程. 而在哈密顿动力学中, 必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方程即哈密顿正则方程, 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。 哈密顿动力学的优点：1）是便于量子化.如在量子力学中，哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规律；2）在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义速度并不对等, 只能对广义坐标进行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个在正则变换时可知其优点. 三. 哈密顿函数的意义 哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束 关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。 哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它 物理学领域，如量子力学中，热力学等。 四. 正则变量、相空间、正则方程的意义 2s个广义坐标 和广义动量 ， 统称为正则变量。 由2s个 组成的2s维空间称为相空间。相空间中 的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在 相空间中, 利用正则方程可对力学系统进行定性的几 何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时. 正则方程的意义:它结构简单对称,为后续的力学发展 (如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论) 奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有 利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。