高等数学(同济版)第五章复习材料.docVIP

第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、 轴以及两条直线、所围成,求其面积. ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点 ， 用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第个窄曲边梯形的底上任取，有. ③．近似和(求和)： ④．取极限：令，则 2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连续，且，求在运动时间内物体所经过的路程 ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点， 将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有. ③．近似和(求和)： ④．取极限：令，则 这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念 1．定积分 :设函数在区间上有界，若在区间内任意插入 ，任取，记，只要 和式极限总存在，则称此极限为在上的定积分,记作，即 ， 此时也称在区间上黎曼可积. 注： 1°.引例中，曲边梯形的面积；路程 2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即 3°.在定积分定义中，要求积分上限大于积分下限，为了方便起见，规定： 当时，；当时，. 4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数 并不能保证(不等分的时候，当等分的时候 5°.若已知在上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如等分) (例如取或)来计算定积分 2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件： 定理1.若在上可积，则在上有界 反之未必，例如：狄利克雷函数在上有界，但不可积, 分和的极限不总存在. (2). 充分条件： 定理2. 若在上连续，则在上可积 反之未必，例如在上可积，但在上有一个间断点 定理3. 若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上可积. 定理4. 若在上单调且有界，则在上可积. 例1. 利用定义计算定积分 解：将区间进行等分, 分点为 则，于是 ， ，取， ， 所以 例2. 用定积分表示下列极限 1.. 2. . 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性 性质1. ( k为常数) 性质2. 2.积分区间的可加性 性质3. 设，则有 3.保序性 性质4. 若在，，则 性质5. 若在，，则 4.绝对不等式性 性质6. 5.介值性 性质7.设和是在上的最大值和最小值，则. 性质8. 6.中值性 性质9.(积分中值定理) 若在上连续，则至少存在一点，使得 . 证明：设在上的最大值和最小值为和，则由介值性得 ， . 再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点，使 注： 1°.积分中值定理对或的情形都成立. 2°.称 为在上的平均值. 因为 ， 故它是有限个数的平均值概念的推广 3°.积分中值定理的几何意义: 以为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以为的矩形的面积 第二节 微积分基本公式 一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中, 已知位臵函数与速度函数之间满足：，即 的原函数