- 1、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。。
- 2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 3、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
第九章 多元函数微分法及其应用 引入:在上册书中,我们学习了一元函数微积分学,所讨论的对象都只有一个自变量的函数,而在实际应用中,研究的问题往往要涉及多方面的因素,反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量,即数学上的多元函数,从这节课开始,我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学 由于从一元函数到二元函数,单与多的差异已能充分体现,我们由二元函数入手来研究多元函数微分学,然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集的相关概念 1. 平面点集:具有性质P} 例如:,其中点表示点 2. 邻域: (1). 邻域: (2). 去心邻域: 3. 坐标面上的点与平面点集的关系: (1). 内点:若,使,则称为的内点. (2). 外点:若,使,则称为的外点 (3). 边界点:若,,且,则称为的边界点 边界:的边界点的全体称为它的边界,记作. (4). 聚点:若,,则称为的聚点 导集:的聚点的全体称为它的导集 注:1°. 若为的聚点,则可以属于,也可以不属于 2°. 内点一定是聚点;外点一定不是聚点;边界点也不总是聚点,如孤立的边界点. 例如:;. 4. 一些常用的平面点集: (1). 开集:若点集的点都是其内点,则称为开集 (2). 闭集:若点集的边界,则称为闭集. (开集加边界 (3). 连通集:若中任何两点都可用属于的折线连接,则称为连通集. (4). 开区域:连通的开集称为开区域,也称为区域. (5). 闭区域:开区域加上其边界称为闭区域 例如:为区域. 为闭区域. (6). 有界集:若,使,则称为有界集. (7). 无界集:若,使,则称为无界集 二、维空间:对取定的自然数,称元数组的全体为维空间,记为. 注:前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间. 三、多元函数的概念 1. ,或,其中 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域:D 值 域: 注:可推广:元函数:,. 例: 1. , 2. , 2. 几何表示:函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:. 四、二元函数的极限 1.定义:设函数的定义域为,点若,,,为 ,满足,则称为当 ,称之为的二重极限 例1. 设证明:,要使不等式 ,求证 成立,只须取, 于是,,,,总有 ,即 例2. 不存在,其中 证明:当沿直线趋于时,总有 , 随着的不同而趋于不同的值,故极限不存在 例3. 求极限 五、二元函数的连续性 1. 二元函数的连续性:设函数的定义域为D,点为D的聚点,且 ,则称在点连续 2. 二元函数的间断点: 设函数的定义域为D,点为D的聚点,若在点不连续,则称为的间断点. 注:间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点. 3. 性质:设D为有界闭区域 (1). 有界性:, ,有 (2). 最值性:,使得,有 (3). 介值性:,,使得. 4. 二元连续函数的运算性质 (1). 和、差、积仍连续; (2). 商 (分母不为零) 连续; (3). 复合函数连续. 5. 二元初等函数及其连续性 (1). 二元初等函数:由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. (2). . 例4. ,则 解:令 例5. . . (分子有理化) 第二节 偏导数 引入:在一元函数微分学中,我们研究了一元函数的变化率—导数,并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数,我们也要讨论它的变化率,但由于多元函数的自变量不止一个,所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率,先把二元函数中某一自变量暂时固定,再讨论二元函数关于另一个自变
文档评论(0)