高中数学巧构造，妙解题.docVIP

巧构造 妙解题 1. 直接构造 例1. 求函数的值域。 分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。 解：令，则表示单位圆 表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线的斜率。 显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即 所以 故 例2. 已知三条不同的直线，，共点，求的值。 分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。 解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即 （*） 由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。 由韦达定理知 2. 由条件入手构造 例3. 已知实数x，y，z满足，求证： 分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。 解：构造一元二次方程 其中x，y为方程的两实根 所以 即 故△＝0，即 3. 由结论入手构造 例4. 求证：若，，则 分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。 所以左边 故原式得证。 例5. 已知实数x，y满足，求证： 分析：要证原式成立，即证 即证 由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以 故结论成立。 巧用函数单调性妙解数学题 函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。 一. 巧求代数式的值 例1. 已知，求的值。 解：已知条件可化为 设，则 而在R上是增函数 则有，即 所以 点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。 拓展练习：已知方程的根为α，方程的根为β，求α+β的值。（答案：） 二. 妙解方程 例2. 解方程 解：易见x=2是方程的一个解 原方程可化为 而（因为） 在R上是减函数，同样在R上是减函数 因此在R上是减函数 由此知：当时， 当时， 这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。 拓展训练：解方程。（答：） 点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。 三. 妙求函数的值域 例3. 求函数的值域。 解：令，则 因为，所以 而在内递增 所以 又 而 所以为所求原函数的值域。 四. 巧解不等式 例4. 解不等式 解：设 原不等式可化为 则，即 设 显然是R上的减函数，且，那么不等式 即 因此有，解得 点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。 拓展训练：解不等式。（答：） 五. 巧证不等式 例5. 设，求证。 证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。 设 因为在上单调递增 所以与必同号，或同为0（当且仅当时） 从而 因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。 点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。 本题可拓展：令，则。 六. 巧解恒成立问题 例6. 已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。 解：依题意， 对上任意x的值恒成立 整理为对上任意x的值恒成立。 设，只需 而在上是增函数 则 所以 七. 巧建不等关系 例7. 给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，设。若，求l在y轴上的截距的变化范围。 解：设 由，得 联立（1）（2）（3）（4），解得 所以或 所以的方程为或 当时，在y轴的截距为 令，则 所以在［4，9］上是减函数 故 所以直线在y轴上截距的取值范围是： 八. 巧解数列问题 例8. 已知数列是等差数列，。 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的通项，Sn是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。 解：（1）由， 有 得 因此 （2） 设（n为正整数） 所以 即在上是递增的 从而 即 所以当时， 当时， 巧用函数思想解数列题 从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量从小到大取值时相应的一列函数值，因此，用函数思想解数列题，思路自然，方法简捷。 1. 利用周期性解题 例1. 在数列{an}中，已知，则等于（ ） A. －1 B. －5 C. 1 D. 5 解：因为 所以 两式相加，得 从而有 即{an}是周期为6的数列，所以 选A 2. 利用单调性解题 例2. 设，且n1，求证 证明：令 则 于是 所以 即an是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，… 又 所以当n＝2，3，4，…时，都有 故