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第三讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、选择题 1．已知命题p：存在x∈R，cosx≤1，则綈p为(　　) A．存在x∈R，cosx≥1 B．对任意x∈R，cosx≥1 C．存在x∈R，cosx1 D．对任意x∈R，cosx1 答案　D 2．下列命题中的假命题是(　　) A．?x∈R，lgex＝0 B．?x∈R，tanx＝x C．?x∈(0，＋∞)，2)x2 D．?x∈R，ex≥x 答案　C 3．设命题p：?x∈R，x2≥x，q：?x∈R，x2≥x，则下列判断正确的是(　　) A．p假q真 B．p真q假 C．p真q真 D．p假q假 答案　A 4．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．对任意a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．对任意a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．存在a∈R，f(x)是偶函数 D．存在a∈R，f(x)是奇函数 解析　当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确． 答案　C 5．已知命题p：对任意x∈R,2x2＋2x＋120；命题q：?x∈R，sinx－cosx＝2.则下列判断正确的是(　　) A．p是真命题 B．q是假命题 C．綈p是假命题 D．綈q是假命题 解析　2x2＋2x＋120?(2x＋1)20，故p为假； sinx－cosx＝2sin\a\vs4\al\co1(x－\f(π4))≤2，故q为真． ∴綈q为假，故选D. 答案　D 6．已知命题p：“对任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．[1,4] B．[e,4] C．(4，＋∞) D．(－∞，1] 解析　若p且q是真命题，则命题p，q都是真命题．由对任意x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e.由存在x∈R，x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上，知e≤a≤4，故选B. 答案　B 二、填空题 7．对于下列语句： ①存在x∈Z，x2＝3； ②存在x∈R，x2＝2； ③对任意x∈R，x2＋2x＋30； ④对于任意x∈R，x2＋x－50. 其中正确命题的序号是________． 解析　①x2＝3，x＝±3?Z，∴①不正确；②x2＝2，x＝±2∈R，∴②正确；③x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋20恒成立，∴③正确；④x2＋x－50，∵Δ＝1－4(－5)0，∴x2＋x－50不恒成立，∴④不正确． 答案　②③ 8．已知命题p：对任意x∈R，ax2＋2x＋30，如果命题非p是真命题，那么实数a的取值范围是________． 解析　∵非p是真命题，∴p是假命题． 而当p为真命题时，就是ax2＋2x＋30对一切实数x都成立． ∴应有a0，Δ＝4－12a0，)解得a13. 当a＝0时，2x＋30不恒成立，p为假命题． 当p为假命题时，非p为真命题， ∴当非p为真命题时，a≤13. 答案　a≤13 9．下列命题中为真命题的是________． ①若p且q为假命题，则p，q均为假命题； ②“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的必要不充分条件； ③“不等式|x|＋|x－1|a的解集为R，则a≤1”； ④命题“存在x∈R，使得x2＋13x”的否定是“对任意x∈R，都有x2＋1≤3x”． 答案　②④ 三、解答题 10．写出下列命题的否定形式． (1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除； (3)?θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数． 解　(1)任意一个三角形的三个内角不都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除． (3)?θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数． 11．已知p：“?x∈R，?m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0”，若綈p是假命题，求实数m的取值范围． 解　∵綈p是假命题，∴p为真命题． 则关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解． 即m＝－(4x－2x＋1)， 令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1， 当x∈R时，f(x)≤1， ∴实数m的取值范围是m≤1. 12．设p：f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数；q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]恒成立，若綈p∨q为真命题，试求实数m的取值范围． 解　要使f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数， 只需m≤1， ∵x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根， ∴x1＋x2＝a，x1·x2＝－2， ∴|x1－x2|＝?x1＋x2?2－4x1x2＝a2＋8≤3， ∴m2＋5m－3≥3，∴m2＋5m－6≥0， ∴m≥1，或m≤－6， 若綈p∧q为真命