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用χi(R)去乘两边，然后对操作求和 ai : 当可约表示完全被必要的相似变换约化时，组成第j个不可约 表示的方块沿对角线出现的次数。 h : 群的阶 χi : 不可约表示的特征标 χ : 可约表示的特征标 可约表示的约化 所谓分子的对称性，是指将核保持固定于平衡位置所形成的 骨架的对称性。 分子的对称性是相对的。 绝对 X 一个分子的对称性在不同的电子状态时可能不同。 HCN分子在基态的时候是线形的，但是在某些激发态的时候是 非线性的。 如非特别说明，一般都是考虑分子基态的对称性。 1．分子点群能简明表达分子构型； 2．可判断分子的一些静态性质，如偶极矩、旋光性、振动模式等； 3．推测反应机理，指导实验合成，如前线轨道理论； 4．可使许多繁杂的计算得到简化：高阶久期方程的简化、对称性匹配函数（群轨道、杂化轨道）的构造。 对称性的用途 应用的实例 偶极矩的概念： （单位为: C? m） 当正、负电荷中心重合时，? =0，为非极性分子。 对称性与偶极矩 r 为正、负电荷之间的距离， q 为电荷量。 有无偶极矩的判据： 只有属于Cn、Cnv、Cs点群的分子才可能具有偶极矩 对称元素是否仅交于一点 是: 正负电荷就落在此点上 ? ＝ 0 非极性分子 否: 正负电荷中心不重合 ? ≠ 0 极性分子 ?v通过C2，交于无数多点 C2 与 ?h 交于一点 C C H H F F F F C C H H C2h ?=0 C2v ≠0 对称性与分子振动 分子的运动包括：平动，转动和振动。对于原子数为N的分子的总的自由度(分子运动类型）为：3N. 在3N种自由度中, 有3个平动自由度（在x, y 和 z方向.线形分子有2个转动自由度，非线性分子有三个转动自由度。 对线形分子， 振动自由度 = 3N-3-2 = 3N-5. 对非线形分子，振动自由度 = 3N-3-3 = 3N-6. 要获取对所有分子运动的可约表示 Гred, 必须考虑分子中所有的原子的3个卡迪尔座标轴的对称性。 x轴用蓝色箭头表示，y轴用黑色箭头表示，z轴用红色箭头表示. 考虑落在xz平面内的水分子. x y z x轴用蓝色箭头表示，y轴用黑色箭头表示，z轴用红色箭头表示. y x 考虑落在xy平面内的水分子. 如果一个对称操作改变一个原子的位置，那么这个操作对此原子的三个卡迪尔坐标的贡献是0。 x y z 在操作不改变原子的位置的前提下，如果也不改变原子坐标轴的方向，那么对特征标的贡献为 +1；如果使坐标轴反向的话，贡献为 -1；如果使坐标轴位置移动的话，贡献为0. x y z * 群论 从18世纪的后期开始展开研究的。 Evaristte Galois （伽罗瓦） Neils Abel （阿贝尔） （法国数学家。1832年， 死于决斗，21岁） （挪威数学家。1829年，死于肺结核，26岁） Arthur Cayley （凯雷）对群给了完整的定义。 （英国数学家。） 群 群：按一定规律联系着的一些元素的组合。 元素可以是数字，可以是操作等…. (1) 群的条件 一个集合G含有A,B,C,D…等元素，在这些元素之间定义一种运算 （加减乘除），如果满足下列4个条件，则称集合G为群。 群的每一个元素 A 一定有一个逆元素 A-1，它也是该群的一个元素．术语避元意味着 A*A-1=A-1*A =E,E 1)封闭性 如 A 和 B 是群的任意两个元素，则它们的积 A*B 也一定是该群的元素． 2)结合性 结合规则（“乘法”）一定要满足结合律：如果 A,B 和 C 是群的任意三个 元素，则(A*B)*C=A*(B*C)． 3)恒等元 群必须含有一个单独的元素 E,对于群中的任何元素 A，都有 A*E=E*A=A．我们称 E 为恒等元．群的元素乘以恒等元保持不变． 4)逆元 群中元素的数目称为群的阶次。 分子点群 一个分子的全部对称操作的集合形成一个数学群。 　对于任何一个分子的任何一个对称操作，其质量中心是保持固定的， 所以一个孤立分子的任何一个对称群叫点群； 　对于无限伸展的晶体，可以有对称操作使得没有一个点是固定不动的， 则这个群是空间群。 分子点群 具有同样对称元素的分子属于同一分子点群. “点”, 是因为分子是一个有限大小的物种, 因而对于任一对称操作都至少有一点不动, 所有的对称元素必须至少有一个公共交点； 分子中全部对称操作的集合构成分子点群。 对称操作的数目(n)就是分子点群的阶. “群”, 是因为分子中全部对称操作的集合满足群的四个条