2009学年度八年级数学第一学期期中复习 湘教版.docVIP

2009学年度初二第一学期数学期中复习 复习要点 一、二次根式 1.概念：代数式(≥0)叫做二次根式。 当≥0时，有意义；当时，无意义。 2.二次根式的性质 ≥0) ；　 ≥0，≥0）；　≥0，0） 3.最简二次根式 ①被开方数中的因数分解素因数后，各因数指数都为1；被开方数中的因式分解后，各因式的指数都为1。 ②被开方数不含分母。 4.同类二次根式的判断方法： ①将几个二次根式化成最简二次根式； ②在最简二次根式中，找被开方数相同的根式即为同类二次根式。 5.分母有理化：把分母中的根号化去。 常见的有：　；　 6.有理化因式： 两个含二次根式的非零代数式相乘，若积不含根式，则称这两个含二次根式的非零代数式互为有理化因式。 ①常见的有理化因式有：与 ；与 ②注意：有理化因式不唯一。 7.二次根式的运算：（1）注意运算性质的运用；（2）结果化为最简形式。 二、一元二次方程 1.一元二次方程的概念 ①方程中只含一个未知数； ②方程中未知数的最高次数为2； ③方程是整式方程。 2.一元二次方程的一般式： ①二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为。 ②注意的条件（当时，，方程变为，就不是一元二次方程）。 3.一元二次方程的解法 ①开平方法：形如或（）； ②因式分解法：对于方程中的部分主要采用因式分解的方法来处理，即提公因式法、套公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等。 ③配方法： 将形如的方程化成； ④公式法：对一般式有（求根公式）。 4.一元二次方程根的判别式： ≥0，方程有两个实数根。 ，方程没有实数根。 注意：实系数的一元二次方程有实数根的必备条件是：（1）；（2）≥0，两者缺一不可。 5.二次三项式因式分解：，其中为的两根。 在二次三项式的因式分解中，要注意避免以下三种错误：（1）符号错误：；（2）漏乘二次项系数：；（3）漏掉字母：如 6.实际应用：增长率问题、几何图形问题等。 三、正比例函数 1.叫做“是的函数”。 判断某种关系是不是函数关系，主要看三个方面： ①看是否有变化过程； ②看这个变化过程中是不是有两个变量； ③看这两个变量之间是否有确定的依赖关系，即当自变量取一个确定的值，因变量是否能相应地有唯一确定的值。 2.函数定义域：函数的自变量允许取值范围。 求函数的定义域，主要根据函数解析式的特征来确定： ①表达函数的式子是整式或奇次根式，则定义域是一切实数； ②表达函数的式子是分式，则定义域是分母不为零的实数； ③表达函数的式子是偶次根式，则定义域是被开方数大于或等于零的实数； ④表达函数的式子是实际问题的函数关系，则要根据实际情况来确定。 3.函数值：在函数用来表示时，表示为当时，变量的对应值。 4.正比例函数概念：函数，其中叫做比例系数。 5.正比例函数图象：的图象是经过原点O（0，0）和点（1，）的一条直线，叫做直线。 6.正比例函数性质 ①时，图象经过第一、三象限，随增大而增大。 ②时，图象经过第二、四象限，随增大而减小。 例题分析 例1.化简： 分析：注意 解： 当≥0，即≤2时，原式 当，即时，原式 例2.已知，，求的值。 分析：这样的题目一般先化简再求值，在求值中注意因式分解等方法的运用。 解： ， 例3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 分析：本题除了要考虑一元二次方程根的判别式外，还要考虑一元二次方程的二次项系数。 解：方程有两个不相等的实数根 又方程是关于的一元二次方程 例4.二次三项式可以在实数范围内分解因式，求的取值范围。 分析：由于，其中为的两根，故在实数范围内能分解因式，说明有两个实数根，即≥0。 解：由题意得≥0，解得≤ 例5.在实数范围内分解因式： 分析：把看作是关于的二次三项式，即把看作主元，则为常数。 解：由得 ， 例6.已知是正比例函数，问该函数经过哪几个象限？点是否在这个函数图象上？ 分析：本题除了的次数为1外，还要考虑正比例函数的比例系数。 解：由题意得 ， 又 该函数经过第一、三象限；点不在这个函数图象上。 自测练习 一、填空题（每小题2分，满分28分） 1.化简：= ____________ ． 2.= ___________． 3.分母有理化：= ____________． 4.计算： = _____________． 5.计算：____________． 6.当a_____________时，关于x的方程是一元二次方程． 7.方程的根是_________________． 8.在实数范围内分解因式：= _____________________． 9.当＝____________时，代数式与