第三章第6节简单的三角恒等变换..docVIP

第三章 第六节 简单的三角恒等变换 题组一 三角函数求值 1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝ (　　) A. B．－ C. D．－ 解析：∵sinα＝，＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋)＝ cosα＝－. 答案：D 2．(2010·平顶山模拟)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　) A. B. C．1 D. 解析：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B， ∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A ＝－cos2A＋2cosA＋1. 又0＜A＜，0＜cosA＜1. ∴cosA＝时，有最大值. 答案：D 3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________． 解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA ＝(cosA－sinA)＝， ∴cosA－sinA＝＞0. ① ∴0＜A＜，∴0＜2A＜ ①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝. ∴cos2A＝＝. 答案： 4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x. (1)求f()的值； (2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值． 解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x， ∴f()＝sin＋cos＝1. (2)∵f()＝sinα＋cosα＝. ∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±. sinα＝sin(α＋－) ＝×－(±)×＝. ∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝. 题组二 三角函数式的化简与证明 5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是 (　　) A．(－，) B．(0，) C．(，) D．(，π) 解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)． 答案：D 6．化简等于 (　　) A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα 解析：原式＝ ＝＝＝1. 答案：A 7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 (　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝， ∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°， 即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1， ∴(1＋tan21°)(1＋tan24°) ＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2， 同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2， ∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4. 答案：B 8．求证：tan2x＋＝. 证明：左边＝＋ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝右边． ∴tan2x＋＝. 题组三 三角恒等变换的综合应用 9.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是 (　　) A．(，) B．(，π) C．(，) D．(，) 解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤. 综上，0＜α－＜π，即＜α＜. 答案：C 10．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________． 解析：法一：设x＝cosαsinβ， 则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x， sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x. ∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1， ∴∴ ∴－≤x≤. 法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x. 即sin2αsin2β＝2x. 由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤. 答案：[－，] 11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜) 一个周期的图象如图所示． (1)求函数f(x)的表达式； (2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值