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第二篇 机械振动 与机械波 广义振动：任一物理量(如电路中的电流、电压的变化、电磁波中场强的变化、一年四季气温的变化等)在某一数值附近反复变化。 机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 (如树叶的摆动、鼓膜的振动、心脏的跳动、晶体中原子的振动等。） 机械振动是最直观、最基本的振动形式 4-1 简谐振动的动力学特征 简谐振动——最简单最基本的线性振动。 简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移x（或角位移?）随时间t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。 一、弹簧振子模型 弹簧振子：弹簧—物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体—可看作质点 简谐振动微分方程 令: 其通解为： 简谐振动的振动方程 力学方程 1. 简谐振动的特征： 动力学方程微分方程 2. 运动学方程 3. 判断系统作简谐振动的依据： 结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 二、微振动的简谐近似_单摆 摆球对C点的力矩 简谐振动微分方程 简谐振动的振动方程 令: l 单摆作小角度摆动时： 复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体 结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 当 时 令: 其通解为： 一、简谐振动的运动学方程 4-2 简谐振动的运动学 简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程 根据运动方程可得任意时刻的速度和加速度： 速度： 加速度： 二、描述简谐振动的特征量 1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。 初始条件 频率?：单位时间内振动的次数。 2、周期 、频率、圆频率 角频率?: 周期T ：物体完成一次全振动所需时间。 物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s -1)。 对弹簧振子 固有角频率 固有周期 固有频率 单摆 复摆 ?0 是t =0时刻的位相—初位相 3、位相和初位相 —位相，决定谐振动物体的运动状态 或: 位相差 两振动位相之差。 当??=2k? ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相 当??=?(2k+1)? , k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相 ?2 超前于?1 或 ?1滞后于 ?2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 设有: t o T x x1 x2 例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。 因此 , 此振动为简谐振动。 以平衡位置O为原点 弹簧原长 挂m后伸长 某时刻m位置 伸 长 受弹力 平衡位置 解： 求平衡位置 例:如图m=2×10-2kg, 弹簧的静止形变为?l=9.8cm t=0时 x0=-9.8cm, v0=0 ? ⑴ 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。 X O m x 解： ⑴ 设振动方程为 由初条件得 由x0=Acos?0=-0.0980 ? cos?00, 取?0=? 振动方程为：x=9.8?10-2cos(10t+?) m (2)按题意 t=0 时 x0=0，v00 x0=Acos?0=0 , cos?0=0 ?0=?/2 ,3?/2 v0=-A?sin?0 , sin ?0 0, 取?0=3?/2 ? x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m 对同一谐振动取不同的计时起点?不同，但?、A不变 固有频率 X O m x 三、简谐振动的旋转矢量表示法 ?0 t = 0 ? ? t+?0 t = t x o X 用旋转矢量表示相位关系 ? ? ? 同相 反相 4-5 一个沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：(1) ；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过x=A/2处向负向运动；(4)过 处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程． ? 解：设振动方程为： (1) (2) (4) (3) 4-8 图为两个谐振动的x-t曲线，试分别写出其谐振动方程． ? 解： (1) (2) 例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。 解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限 （2）从x=-0.03m处且向x轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足 依题