机械优化设计NO.5(免费阅读).pptVIP

一、方向导数与梯度 1、 方向导数 凸函数的基本性质 ⑴、设f(X)为定义在D上的凸函数，λ为任意正 实数，则λf(X)也是凸集D上的凸函数 ⑵、若函数 和 为凸集D上的两个凸 函数，则对任意正实数a和b，函数 仍为D集上的凸函数 ⑶、若f(X)为凸集D上的凸函数,则f(X)在D上的 一个极小点也就是在D上的“全域最小点” 三、凸性条件 1、设f(X)为定义在凸集D上，且具有连续的一 阶导数的函数，则f(X)在D上为凸函数的充 要条件为：对于任意的不同两点 ∈D，都有下式成立： 四、凸规划 若 f(X) 是凸函数， 组成的D为凸集时，则相应的非线性规划问题称为凸规划 * 优化方法的数学基础 3.2 函数的梯度和二阶导数矩阵 一、方向导数与梯度 二、函数的二阶导数矩阵 3.3 函数的近似表达式（多元函数Taylor展开式） 3.4 无约束目标函数的极值条件 3.2 函数的梯度和二阶导数矩阵 的斜率 的斜率 x2 x1 f (x1, x2) x10 x1 x20 x2 X F(X) ? 1 ? 2 X0 梯度： 其模： 2、梯度 二、函数的二阶导数矩阵(Hesse矩阵) 一阶Taylor近似展开式使函数线性化， 二阶Taylor近似展开式使函数简化为二次函数 二阶Taylor展开式 一阶Taylor展开式 3.3 函数的近似表达式（多元函数的Taylor展开式） 2.5 函数的凸性与凸函数 一、凸 集 二、凸函数 (函数的凸性表现为单峰性) 三、凸性条件 四、凸规划 课堂练习及小测验 1.理解凸集、凸函数、凸规划等基本概念 2.明确在优化方法中研究函数凸性的意义 3.搞清第3章全部内容的内在联系和在求优中的 作用 2.5 函数的凸性与凸函数 一、凸 集 1.概 念 设D 为Rn中的一个集合，若其中任意两点之间的连线都属于该集合D ，则D 为Rn中的一个凸集 D D D 2.X(1)和X(2)两点的连线方程 ξ=（ X(2) - X）/（ X(2) - X(1) ）（0≤ ξ ≤1） X=ξX(1)+（1-ξ）X(2) 二、凸函数 (函数的凸性表现为单峰性) ① 凸函数： 单峰函数（只有唯一极小值的函数） ② 几何意义： f(X) ≤ Φ(X) Φ(X) f (X) 定义：设f (X) 为定义在Rn 中凸集D上的函数， 和 为D上任意两点，若对于任意实数 [0，1]，恒 有： f(X) ≤ Φ(X) ，即： ≤ 成立，则称 f(X)为 定义在凸集D上的一个凸函数 2、 设f(X)定义在凸集D上，且存在连续二阶导 数，则f(X)为D上的凸函数的充要条件为： H(X)处处为半正定的。若对于一切X ∈D， H(X)都是正定的，则f(X)为D上的严格凸函数