机械优化设计NO.11(免费阅读).pptVIP

* * 5 无约束优化方法 5-4 梯度法、牛顿法 5-5 DFP变尺度法简介 约束优化方法 6-1 目标函数的约束极值问题 一、约束优化问题的局部解与全局解 二、约束优化问题局部解的一阶必要条件 （约束局部极小点存在条件） 1、掌握“K-T条件”的数学形式与几何条件 2、熟悉“K-T条件”在约束优化问题研究中的意义及 适用场合 对于带有约束条件的目标函数，求其最优解的过程可归结为： 寻求一组变量 ，在满足约束方程： 使 f （X）达到 ，此时 称为“约束最优点” 约束优化方法 6-1 目标函数的约束极值问题 (a) 4个不等式约束构成了￡ （目标函数为凸函数） (b)目标函数与约束函数均为“凸函数”，约束边界 g(X)= 0与目标函数等值线在 点相切 (d) 目标函数为凸函数而约束函数为非凸函数的情况 (c) 目标函数为非凸函数而约束函数为凸函数 约束优化问题，应解决问题： ① 判断约束极值点存在的条件 ② “判断所找到的约束极值点”是否为全域最优点 一、约束优化问题的局部解与全局解 1.局部解 设目标函数 f（X）和约束函数 及 在 中连续且可微，又 ∈￡ ， 且 表示可行域内的超半球邻域,若对于一X∈ ， f (X)成立，则称 为该问题的一个局部极小点，相应的 称为“局部解” 2.全局解 若对于一切的X∈ ￡， f (X)成立，则 称 为“全域极小点”；相应的 ，称为“全局最优解” 3.局部解与全局解的关系 对于有些约束优化问题，局部解可能有多个，在所有的局部解中，目标函数值最小的那个解即为“全局解”。由此可知： 约束优化问题的全局解一定是局部解，而局部解不一定是全局解！ 二、约束优化问题局部解的一阶必要条件 （约束局部极小点存在条件） 1.适时约束（起作用约束） 一般约束优化问题： min f（X） 可行点 处，若有 ，则该点的约束 称为可行点 的“适时约束” 而如果有 ，则该点约束 为可行点 的“不起作用约束”(非适时约束) 对于等式约束 ，显然在任一可行点处的等式约束均是适时约束。 2. 约束局部极小点存在的必要条件 1°不等式约束问题解的一阶必要条件 最优点 的位置: 1）约束最优点与无约束最优点是一致的（等价 于无约束优化问题） 2）在可行域￡ 的某个约束边界上（优化问题示例） 不是稳定点 是稳定点 3） 可能位于两个(或多个)约束曲线的交点处 不是稳定点 是稳定点 4）推广到n 维优化问题 若有 “J ”个约束函数交于一点，则该点成为约束极值点的条件： ①在数学上表示为： ②在几何上的关系： “ ”处于该点处“J”个约束函数的梯度 、 、 、 在设计空间所组成的角锥范围内 把m个不等式约束全部考虑进去，并取不起作用的非适时约束的相应乘子为0，则约束极值点的一阶必要条件改写为： 2°等式约束问题解的一阶必要条件 推广到一般的n维等式约束优化问题： min f (X) X∈￡ s.t. 其约束最优解的一阶必要条件为： 3°一般约束优化问题解的一阶必要条件 上式表明：在局部约束极小点 处，函数的负梯度“ ”一定能表示为所有起作用约束在该点梯度矢量的非负线性组合！ 则前式中第一式可看成是由约束问题所定义的Lagrange函数极小点的必要条件得出： 若令： 4° K-T(Kuhn-Tucker)条件 〈K-T条件〉 对于一般约束优化问题，若 是一个局部极小点，且各梯度矢量 组成 “线性无关” 的矢量系，那么必有一组非负乘子 和另一组乘子μ使得下式成立. 说 明：