第三章原子物理杨福家.ppt

4、一维谐振子势阱 简谐振动是物理学中经常出现的一类运动。 粒子受力为 势能为 则薛定谔方程为 可得能量及波函数为 式中， 是厄密（Hermite）多项式，可以按下式计算 习惯上把能级画在势能曲线内，这样一来，能级横线的长度就表示了经典简谐振动中粒子的活动范围，即等于振幅的两倍。 简谐振子的能级 特点： 等间距分布，间距为 具有“零点能” 跃迁只能逐级进行 §3.6、平均值与算符 经典情况 量子力学 如何表示动量表象 ？ 一、平均值的求法 二、算符的引入 在量子力学中，算符代表了对波函数的一种运算。 把 对x取一阶微商，得到 即 所以动量 可以用算符 来表示。 同理，其他分量以及总动量平方的算符为 代表位置的r的算符就是r本身，因此，只与坐标有关的V，其算符也就是其本身。 再把式子 对t取一阶微商，得到 所以代表能量E的算符是 再由式子 可以得到 —— 哈密顿算符 哈密顿算符可记为 这个算符只包含空间变量，不包含时间。所以将它作用于 ，就得到 这也就是定态的薛定谔方程。 一般来说，在量子力学中有关微观粒子运动的每个力学量都可用一个算符来表示。下面列出一些与常见力学量对应的算符。 ① 位矢所对应的算符就是r本身，这表示以r相乘的运算。 ② 只与坐标有关的势能 ，其算符就是 ③ 动量算符： ④ 动能算符： ⑤ 能量算符：哈密顿量 ，则 ⑥ 角动量算符：（见书上P124） 三、本征方程、本征函数和本征值 如果一个算符作用到一个函数后，等于一个常数乘以这个函数，则称这个方程为该函数的本征方程。这个函数为算符的本征函数，常数称为算符的本征值。 例如，定态薛定谔方程 该方程称为本征方程，E称为哈密顿算符的本征值， 称为哈密顿算符的本征函数。 假设粒子处于某一量子态 。当测量这个粒子的力学量时，往往得不到确定的结果。但有的力学量可以。如力学量 在 态有数值A，则称 是 的本征函数，相应的本征值是A。这样必有 。 若一个本征值只对应一个本征函数，则称这个本征函数所表示的状态是非简并的；否则就是简并的。 一个粒子可以有多个可测的物理量。若某粒子处于力学量A的本征态，则测量A时将得到确定值，若在A的本征态测量另一个力学量B时，就不一定能得到确定值。如果有，那么它们具有共同的本征态。 如果两个算符对易，那么这两个算符可以具有共同的本征函数，而且它们所代表的力学量在它们共同的本征函数所描述的状态中，可以同时有确定值； 如果两个算符不对易，那么它们就没有共同的本征函数，则不能同时有确定值，而要满足不确定关系。 §3.7、氢原子的薛定谔方程解 氢原子问题是用薛定谔方程唯一可以严格求解的原子结构问题。 在氢原子中，电子在原子核的库仑场中运动，这体系的势能是 与时间无关，可以求出定态的波函数。 取 则 对有心力场，采用极坐标比较方便。 这个微分方程的解可以表达为三个函数的乘积： r的函数R， 的函数 ， 的函数 分离变量得 上式中，左侧只与r 有关，右侧只与 和 有关，因此，要两边相等，只能都等于一个常数，定为 则 同理，第二个式子也可以分为两个方程，常数定为 三个式子分别是R、 和 的微分方程，可以分别解出 此式要求 是单值的，也就是 ，N为整数。这就要求式中的 也为整数，改用m表示为 解得 m称为磁量子数 显而易见，波函数 是算符 的本征函数： 或者 即角动量在z方向的投影大小 这样，前面的式子要改写为 l称为轨道角动量量子数。 这是二阶微分方程，有两个线性无关的解。数学的分析可以知道，要使 为有限值，只有当 ， 为正整数或零，而且 时，其中一个解才有限。 是连带（缔合）勒让德（Legendre）函数，可以按下式算得， 这样合乎要求的解为 此式合乎波函数条件的解是 现在讨论第一个式子的解。要求 取特殊值 ， 。那么该式必须改为