有限元与数值方法讲稿52有限元的基本概念(免费阅读).pptVIP

State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment Dalian University of Technology, China 有限元与数值方法第五讲有限元法的一般原理与基本格式---- 有限元的基本概念 杆系有限元方法 以桁架结构为例，介绍有限元的基本思想 杆单元的有限元分析 位移插值 位移插值 位移及应变 单元刚度阵 平面内任意方向的杆单元 边界条件处理 有限元法的基本概念 有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，通常称为“单元”或“有限元”。 对每一单元假定一个分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。 有限元法方程的系数矩阵通常是稀疏的，便于求解。 有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程结构分析问题。 有限元法应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等 有限元法总体思路 有限元法的理论基础概述 将微分方程转化为等效积分弱形式 变分原理 加权余量法 采用单元上的分片假设近似函数，将积分方程转化为代数方程组 有限元法的实施流程 有限元法通过加权余量法（或变分法、最小势能原理、虚功原理等）将偏微分方程转变为代数方程，便于计算机处理 将求解域剖分为网格，对节点变量进行单元分片插值值 单元矩阵形成规范化，形函数只与坐标有关，便于计算机计算 单元刚度阵组装为整体系数矩阵后，考虑边界条件，求解矩阵方程即可得到节点未知量。 Finite Difference (FD) Method: FD 对微分算子进行近似 在节点上建立方程 Finite Element (FE) Method: FE 采用精确的算子，但利用基函数对场变量进行近似 在问题域上建立方程（需要积分形式） 有限元法的基本思路及比较 Strong form Weak form Galerkin approx. Matrix form 解方程 Kd= F 提取单元位移de 计算单元内力和应力 把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K 结构离散为单元 建立单元刚度矩阵Ke 形成等价节点荷载F 形成单元等价节点力 授课教师：刘书田 Tel Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：00—10：20 弹性力学问题的有限元法 有限元法的基本思想 杆系结构的直接刚度法 静定桁架的内力可以通过节点的平衡方程求得，由内力和杆件断面积可求得杆件应力、应变，再求得节点位移 P P 静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。 有限元法的基本思想 杆系结构的直接刚度法 静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。 由节点的平衡方程就可求得节点位移； 这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩阵适当地组装得到。 F2x,,u2x F2y,,u2y F1x,,u1x F1y,,u1y 1 2 P 一维线性杆单元 基本假定： 只能承受拉压内力（各杆两端的约束条件使得弯曲、扭转、剪切不能传递） 轴线为直线 材料满足胡克定律 自由转动 1 2 桁架结构 建立轴线方向的坐标系 记任一点轴向位移为 并将节点位移表示为 建立杆件位移与节点位移的插值关系 其中，形函数必须满足 1 1 2 1 2 1 节点位移协调关系满足 可简单地将形函数取为一次多项式的形式： 考虑到边界条件， 可得到 因此 杆上无分布力时，一次多项式可精确描述杆件变形 小位移假设下，应变为 位移模式为 位移模式包括刚体位移和常应变模式 N 形函数矩阵 B 应变矩阵 利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为 则节点力为 其矩阵形式表示为 单元刚度矩阵 S 应力矩阵 X Y x y ?X ?Y ?x ?y i ? 坐标变换矩阵 设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标。? 为任意单元 i 端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为 ?X、?Y；在单元坐标系中的分量为 ?x、?y。 ?X、?Y 在单元坐标x轴上投影的代数和给出 ?x 。同理， ?X、?Y 在单元坐标 y 轴上投影的代数和给出 ?