微积分第六章定积分5-6节.pptVIP

Page * 上一节的N-L公式将定积分的计算 的形式, 而不定积分可用换元法 和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了. 归结为求不定积分, 如果将换元法和分部积分法写成定积分 常可使得计算更简单. 二、定积分的分部积分法 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第六章 要求：掌握定积分的换元积分法与分部积分法. 一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是 的原函数 , 因此有 则 则 说明: 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 凑元不换限 例 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 “换元必换限” (原函数中的变量不必代回) 这是半径为a的四分之一的圆的面积. 例 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 “换元必换限” 例 解 注 或 注 例 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得. 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 例 证 (1) 三角函数的定积分公式 例 由此计算 设 证毕. 2 0 d ) (sin p x x f ò ú ? ù ê ? é ? ? ? è ? - - = t t f d 2 sin p 设 证 由此计算 ò - - - = t t f t d )] [sin( ) ( p p 说明: 尽管 但由于它没有 初等原函数, 故此积分无法直接用N--L公式求得. ò p p 0 d ) (sin 2 x x f 周期函数的定积分公式 这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的 区间上的定积分都相等. 证: 二、定积分的分部积分法 定理2. 则 证: “边积边代限” 不定积分的分部积分法 N--L公式 例 计算 解: 原式 = “边积边代限” 例 证明定积分公式 证 n为正偶数 n为大于1的正奇数 奥利斯公式 十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出. x x x n n d cos sin ) 1 ( 2 0 2 2 - + - p 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 因为 x x x n n d cos sin ) 1 ( 2 0 2 2 - + - p - - = - x x n I n n d sin ) 1 ( 2 0 2 p 所以, 当n为正偶数时, 当n为大于1的正奇数时, 例 为正偶数 为大于1的正奇数 上述公式在计算其它积分时可以直接引用. 注 = = x x x x d cos d sin 2 0 7 2 0 7 p p 10 9 定积分的分部积分公式 内容小结 定积分的换元公式 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式 换元必换限 凑元不换限 边积边代限 设 求 解: (分部积分) 思考与练习 Page *