微积分第六章定积分1-2-3节.pptVIP

解 令 于是 比较积分值 和 的大小. 例 性质5的推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 证 说明 性质5的推论2 性质5 如果在区间 则 可积性是显然的. 由推论1 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围) 性质6 分别是函数 最大值及最小值. 则 解 估计积分 例 解 估计积分 例 则至少存在一点 使 证: 则由性质6 可得 根据闭区间上连续函数介值定理, 使 因此定理成立. 性质7(定积分中值定理） 说明: 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广. 因 积分中值公式的几何解释 至少存在一点 在区间 使得以区间 为底边, 以曲线 为曲边的曲边梯形的 面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积. 例 证 由积分中值定理有 (a为常数) ) ( n a n - + 3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用) 4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分，比较积分大小. 小结 1. 定积分的实质: 特殊和式的极限. 2. 定积分的思想和方法: 以直代曲、以不变代变. 三步曲: 分割、 近似求和、 取极限. 思想 方法 思考题 解 由定积分几何意义可知 用定积分的几何意义计算 并求 所围成图形的 面积(如图). 图形, ò ò - + - = 0 6 2 0 d 2 d 2 x x x x 解 由积分中值定理知有 使 思考题 2002年考研数学(四)6分 利用闭区间上连续函数的性质, 证明存在一点 证 最值定理 有最大值M 和最小值m, 介值定理 即证. 思考题 如果函数f（x）是一个常数，就构成一个矩形，面积就等于 曲边梯形的高是变化的，所以不能用矩形的面积公式进行计算，现在难点就是曲边梯形的高 “变化的”，而不是“不变的” 如何由近似值得到精确值，就是一个取极限的过程，下面我们看两组图： 当分割无限加细时，n个小矩形和的极限值就是曲边梯形的面积。 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7. Page * 第六章 定 积 分 定积分和不定积分是积分学的两个 一种认识问题、分析问题、解决问题的 不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 — 主要组成部分. 思想方法. 二、定积分的概念 一、引例 三、定积分的存在定理 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质 要求：理解定积分的概念，掌握定积分的性质 及定积分中值定理. (1) 曲边梯形的面积 在直角坐标系中,由非负连续曲线 及 轴围成的图形 称为曲边梯形. 一、引例 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的，现举两例. 矩形面积s = 底 高 分析: 在 上连续 以直 代曲 思想 用任意一组分点 将曲边 梯形AabB 分成 n 个小曲边梯形, 用s 表示曲边梯形 AabB 的面积, 表示第 i 个小曲边梯形的面积, 则有: (1)分割 计算曲边梯形面积的具体步骤： 将区间 分成n个小区间: 区间长度为: . . . . . . . . 在每个小区间 上任取一点 以 为底, 为高的小矩形的面积 近似代 替第 个小曲边梯形的面积 作和 则 是 的一个近似值, (2)近似求和 思考：如何由近似值sn得到精确值s 说明：当分割越细， sn越接近于s. a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 记 曲边梯形 的面积: (3)求极限 . . . . . . . . (2) 变速直线运动的距离 匀速直线运动: 内行驶的距离 速度 是时间 t 的函数， 分析: 变速直线运动： 求汽车在时间间隔 ？ . . 汽车在公路上行驶， 思想 以不变代变 则 用 表示第 i 个小时间段行驶的距离, 用 (1)分割 用类似的方法解决如下： 并作和: 在每个时间段 上任取一时刻 则有 (2)近似求和 记 (3)求极限 有： 两个引例中, 虽然问题的实际意义不同, 但都 为具有相同结构的一种特定和式的极限. 归结 (1)分割 (2)近似求和 (3)求极限 步骤： 定义: 设函数 在区间 上有界, 一组分点 将区 间 分成 n 个小区间, 各小区间的长度为: 令 任取 作和: 如果不管区间 如何分法, 也不管 如何取法, 当 时, 和 总有共同的极限 则称 为函数 在 上的定积分, 记为 即 用任意 二、定积分的概念 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分和 积分变量 若 f (x) 在区间[a, b]上的定积分存在, 则称函数 f (x) 在区间[a, b]上可积. 称为积分区间 积分记号 拉长的s (summation). 有关; 无关. 注 即: 其积分值 I 仅与 变量 和