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设方阵A满足 ，证明 A 及A+2E都可逆,并求 。 第五章 相似矩阵及二次型 关于特征值和特征向量的讨论 用正交变换化二次型为标准形 (或用正交矩阵化对称阵为对角阵) §1 向量的内积 §2 方阵的特征值和特征向量 作 业 通常，称 为A的迹，记为 tr(A)。 即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组。 设A 的特征值为 由多项式的根与系数 之间的关系知： 1） 解特征方程 2) 对每个特征值 总结：n 阶方阵A的特征值、特征向量的求法： 得到 A 的全部特征值。 （注意共有 n 个特征值。） 求出齐次线性方程组 的基础解系，它们就是 A 的对应于 的线性无关的特征向量。 例 （教材P111例4） 求三阶矩阵 的特征值和特征向量。 解 A的特征多项式为 故得A的三个特征值为 对于 解齐次线性方程组（2E -A)x= 0 , * * 2. (P59习题4) 设方阵A满足 ， 证明 A 及A+2E都可逆,并求 。 要证A可逆，只要证存在矩阵B，使AB=E即可。 分析： 作 业 题 讲 解 证 证 只要证明下式即可 证毕 设 （k 为某个正整数）证明 （利用 （P46第5题） 作 业 题 讲 解 P79第4题 解 必要性由定理7（初等变换不改变矩阵的秩）立得。 作 业 题 讲 解 充分性 设R(A)=R(B). 由等价关系的传递姓，知A与B等价。 证 设有 （教材P75第 2 题） 设向量组 线性无关，证明向量组 线性无关。 即 由 线性无关，得 所以 线性无关。 本章讨论 向量的内积 特征值和特征向量 相似矩阵 二次型的化简 本章重点 1 向量的内积和长度 定义 设有 n 维向量 的内积。 注 内积是向量间的一种运算，其结果是一个数。 注 内积运算满足： 定义 即内积满足 交换律 称长度为 1的向量为单位向量。如 皆为单位向量。 的长度（或范数）。 将(*)式两边平方 （（*）式的证明略去，其直观意义是明显的。） 注 向量的长度满足： 正因为如此， 在解析几何中，常把 的夹角。 由此得 进而 由上也可得 此称为许瓦兹不等式。 2 正交与正交规范化 定义 当[x, y]=0时，称向量 x 与 y 正交。 显然，若 x=0, 则 x 与任何向量都正交。 称两两正交的非零向量所组成的向量组为正交向量组。 例（P107例1） 已知 正交，试求一个非零向量 a3，使 a1, a2, a3 两两正交。 解 记 a3 应满足齐次 方程 Ax=0，即 由 得 故可取 定理1??若n维向量 是一组两两正交的 非零向量，则 线性无关。 证 设有 类似可证 于是向量组 线性无关。 证毕 称由正交向量组构成的向量空间的基为正交基。 如 n维单位坐标向量组构成 Rn 的一个正交规范基。 定义 设 n 维向量 是向量空间 V 的一个基，如果 两两 正交，且都是单位向量则称 是 V 的一个正交规范基。 又如 是 R4 的一个正交规范基。 结论 若 是 V 的一个正交规范基， 那么 V 中任一向量 a 可表示为 其中 证 设 即 证毕 例 求向量 a=(1 1 1 1)T 在下述基下的表示形式。 可见,在正交规范基下求一个向量的表示式比较简单。 问题：能否将向量空间的一个基重新构造成一个正交 规范基呢？ 回答是肯定的，其构造过程称为施密特正交化。 设有向量空间的一个基 如此得到的 b1 ,b2与a1 ,a2 还是等价的 依此下去，便有： 如此得到的 b1 ,b2 ,b3与 a1 ,a2 ,a3等价 结论 （施密特正交化） 设有向量空间的一个基 再将 b1,b2, … ,br 单位化，便可得到正交规范基。 设 试用施密特正交化过程将这组向量正交规范化。 解 例（P108例2）