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直线、平面垂直的判定及其性质 主讲：陈逸 知识强化 一、知识概述 　　直线、平面垂直是直线、平面相交的一种特殊情况．本节内容的处理继续遵循“直观感知－操作确认－思辩论证－度量计算”的认识过程展开，直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理通过具体实例，按照直观感知、操作确认的方式得出，并用精确语言表达；直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理则在观察、操作的基础上作出猜想，然后通过推理论证，得出猜想的正确性．另外，还学习了直线与平面所成的角、二面角等概念，在了解的基础上，还要学会如何运用适当的方法进行求解． 二、重难点知识归纳 1．直线与平面垂直的判定 　　(1)直线与平面垂直的定义 　　如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面． 　　注意：定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”． 　　如果或，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足． 　　(2)直线和平面垂直的判定定理 　　如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面． 　　(3)关于垂直的存在唯一性 　　命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直． 　　命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2．平面与平面垂直的判定 　　(1)平面与平面垂直的定义 　　两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直． 　　(2)两个平面垂直的判定定理 　　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 　　符号表示为：． 3．直线与平面垂直的性质 　　如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 　　符号表示：． 　　作用：可作线线平行的判定定理． 4．平面与平面垂直的性质 　　(1)两个平面垂直的性质定理 　　如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 　　符号表示为：． 　　(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 　　(3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 　　(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 5．直线与平面所成的角 　　(1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射线所成的锐角． 　　(2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为． 　　(3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为． 　　显然，直线与平面所成的角的范围为． 6．二面角 　　(1)二面角的定义 　　一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面． 　　(2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角． 　　注意：二面角的平面角两边必须都与棱垂直． 　　二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的． 　　二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 　　(3)二面角的平面角的确定与求法 　　直接法 　　这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小． 　　公式法 　　射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，那么． 三、典型例题剖析 例1．P是外的一点，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，则的面积为（　　　） A．　　　　　　　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　　　　　　　D． [解析] 分析：由题目的已知条件，欲求的面积，必须求出一个边上的高及这个边的长度，求出三角形面积．题中共有三个垂直的条件，因此可以考虑作出的高． 　　解：如图所示，作于D，连接CD． ? 　　， 　　平面PAB，则． 　　又， 　　平面PCD，则． 　　在中，PA=1，PB=2，则，． 　　在中，PC=3，则． 　　． 　　故选择B． 例2．如图所示，在正方体中，E是的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：平面． [解析] 　证明：如图，连接AE、CE、， 　　设正方体的棱长为a，易证AE=CE． 　　又，． 　　在正方体中易求出： 　　， 　　， 　　． 　　，． 　　面， 　　∴OE⊥面． 例3．如图所示，正方体中，求与平面所成的角. [解析] 　分析：求直线与平面所成的角，关键是找出这条直