任意角的三函数(1、2、3、4)Microsoft Word 文档.docVIP

4-1.2.1任意角的三角函数（1） 一．教学目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦，余弦，正切）的定义; 2. 能利用任意角的正弦、余弦、正切的定义求三角函数值; 3.初步应用定义分析和解决与三角函数有关的一些简单问题. ． 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为. 则; ; . 思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ; ; . 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 上述P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 2.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦(sine),记做, 即 ； （2）叫做的余弦(cossine),记做, 即； （3）叫做的正切(tangent),记做, 即. 思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么? 说明:(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数. (2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. 3.利用定义求角的三角函数值 例1.求的正弦,余弦和正切值. 例2．已知角的终边过点，求角的正弦,余弦和正切值. 4.课堂练习: 课本P17练习1，2，3。 5.课外作业： 2.通过定义理解运用公式一; 3. 通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析,探究,解决问题的能力,初步应用定义分析和解决与三角函数有关的一些简单问题. 公式一是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1) ； （2） ； （3）= . (4)三角函数是怎样的一种函数? B)已知角的终边上一点，且，求的值. 解：由题设知，，所以，得， 从而，解得或． 当时，， ; 当时，， ; 当时，， . 2.利用定义探究三角函数的定义域,函数值的符号 探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：(课本15页) 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 3. 终边相同的角的同一三角函数值---公式一 思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有何关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有公式一: (其中) 公式一的作用是把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 4.应用举例 例3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角. 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1); (2); (3); (4). 例5.求下列三角函数值: (1); (2); (3). 8.课堂练习: 课本P17练习4,5,6,7. 9.课外作业： 2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值. 会三角函数线比较三角函数值的大小，求角的范围. 3.利用信息技术展示在角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标,三角函数线的直观联系,使学生更好理解三角函数的本质,加深对数形结合的思想的认识. 的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M, 用的三角函数表示点P的坐标 ;线段OM的长度|OM|= ; 线段MP的长度|MP|= . (出示角的变化过程中,角的终