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对称变换在几何证题中的应用 主讲人： 整理人： 今天我就简略地谈几道题目，首先看一道老题，想必大家都见过： 结论要证明的是一条直线上的三段满足一个关系， 这能让我们联想到什么 勾股定理 属于“大角含半角”的模型，旋转可以出场。 但是勾股定理要在一个直角三角形中才能成立，很好有的老师已经知道怎么舔辅助线了。 比如这样： 不妨以AN所在直线为对称轴， 翻转三角形ANC 得到三角形ANC 然后连接CM, 这样角MCN就是一个直角， 我们就得到了一个直角三角形， ? 嗯，这可以视为旋转变换， ?从结论出发，倒过来联想。 当然在继续下去之前，还需要证明AMB与AMC全等。 这样CN,BM两条线段就被集中到同一个三角形中去了。 接下来再看一道关于正三角形的 ? 这也是老题了， 想必也有不少人见过。 选取过E垂直于CD的直线为对称轴，这里一般考虑构造全等三角形。 ? 三角形BEB是个等腰三角形，且角B是60度。 那么可以再具体一点， 三角形BEB是个正三角形,从而AE与BC相等，BED与BEC全等。 下一题就是前两天才看到的， ? 这个问题作为初升高题难度较大。 但仍可借助对称变换获得解决，在这之前我们先看个简单点的， ? ? ? 这里也是通过对称变换将已知和未知的线段放进同一个三角形中， 有老师已经想到了， 构造等腰梯形， 一个梯形内接于圆的充要条件为它是等腰梯形，这样就又可以在直角三角形中运用勾股定理了。 我们再回到刚才的题，那里也是通过构造等腰梯形解决的，比如这样： ? 其实下面的等式还可以用托勒密定理更快得到。 下面再看个求角度的问题 ? ? ? ? ? 可考虑以AP所在直线为对称轴，不妨设B对称点为B,? 三角形PBB会不会是个正三角形？ ? 容易计算出角PBC=30度，这样也可以，BC垂直平分BP,BC=PC,三角形ABC会不会也是正三角形？ 这也很容易证明，再根据PC=PB,得角BPC=角PBC=67度，最后得到角CPA=角APB-角BPC=150度-67度=83度。 ?  第2页，共5页