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§8.4 函数展开成幂级数 §8.4 函数展开成幂级数 §8.4 函数展开成幂级数 一、泰勒级数的概念 二、函数展开成幂级数 二、函数展开成幂级数 8.4.3 幂级数的应用举例 作业 习题8-4 1题，2题课后练习 上页 下页 结束 返回 首页 8.4.1 泰勒级数 8.4.2 函数展开成幂级数 上页 下页 结束 返回 首页 8.4.3 幂级数的应用举例 上页 下页 结束 返回 首页 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 上页 下页 结束 返回 首页 前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂 要确定它能否在 或者说, 样幂级数, 现在我们要考虑相反 的问题, 即对给定的函数 级数在收敛域上的和函数. 某一区间上“表示成幂级数”, 能否找到这 它在某一区间内收敛, 且其和恰好等于 给定的函数 而这个幂级数在该区间内就表达了函数 如果能找到这样的幂级数, 在该区间内能展开成幂级数, 们就称函数 我 上节例题 问题: 1.如果能展开成 ，那么 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 对给定的函数 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 复习：泰勒中值定理 证明 ∵泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 ---泰勒系数 泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数 称为函数f(x)的泰勒级数. 麦克劳林级数 在泰勒级数中取x0?0, 得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 下页 显然, 当x?x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题是: 除了x?x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? . . 下页 泰勒级数 麦克劳林级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n?0时的极限为零, 即 定理 . . 泰勒级数 麦克劳林级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n?0时的极限为零, 即 简要证明: 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数, 即 先证必要性. 又设sn?1(x)是f(x)的泰勒级数的前n?1项的和, 则在U(x0)内 sn?1(x)?f(x)(n??). 而f(x)的n阶泰勒公式可写成 f(x)?sn?1(x)?Rn(x), 于是Rn(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??). 定理 简要证明: 再证充分性. 设Rn(x)?0(n??)对一切x?U(x0)成立. 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成 f(x)?sn?1(x)?Rn(x), 于是 sn?1(x)?f(x)?Rn(x)?f(x), 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛, 并且收敛于f(x). 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n?0时的极限为零, 即 定理 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x0?0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0?0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 应注意的问题: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的. 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 函数展开成幂级数的步骤 第一步 求出f (x)的各阶导数: f ?(x), f ??(x), ? ? ? , f (n)(x), ? ? ? ;