1-1 线性空间.pptVIP

注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。 例12. 实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组 都是 的基底。 的维数为 例13. 在4维线性空间 中，向量组 与向量组 是其两组基，求向量 在这两组基 下的坐标。 解：设向量 在第一组基下的坐标为 矩阵论教程A 矩阵论教程A 哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences 书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取 使用教材 《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 课 程 要 求 作业要求 矩阵论网站 / 授课预计 (8学时) 1 2 3 4 第一章 线性空间与线性映射 线 性 空 间 线 性 子 空 间 线性映射与线性变换 线性变换的不变子空间 5 线性空间的同构 教 学 内 容 和 基 本 要 求 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变 换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念 . 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射 及线性变换;不变子空间 难点: 基变换与坐标变换;不变子空间 4, 理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质 1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。 本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系 线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。 常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ； 设F是至少包含两个数的数集，如果F 中 F中的数，则称F为一个数域． 任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是 定义1 （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．） 线 性 空 间 §1.1 1.1.1 线性空间的概念与性质 说明： 1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域． 定义2 设 是一个非空集合， 为一数域．在V上定义运算如下： ⅰ) 对任意　 ，总有唯一的元素 与之 对应，称为 与 的和，记作 ⅱ ) 对任意的 与任意的 ，总有唯一的 元素 与之对应，称为 与 的积，记作 则称集合V对这两种运算是封闭的。 定义3 设数域 上的集合 对于如上“+”和 “ ”两种运算是封闭的，且满足如下八条： (3) V 中存在 元素，使得对 有 (4) 对 ，有 的负元素 对 则称 为数域 上的线性空间．记为: （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性． 例2 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． 一般线性空间的判定方法 　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律． 例3 数域F上次数小于n的多项式的全体，记作： 例4 不是线性空间 可以验证： 构成数域F上的线性空间 例5 正弦函数的集合 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． 是一个线性空间. 例6 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间． (2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．