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游戏设计中的运动力学问题 2010年10月 主要内容 游戏中的运动问题 一维运动 二维和三维运动 旋转运动 游戏中的牛顿法则 力 牛顿定律 游戏中的能量变换 功和动能 能量守恒 能量和碰撞 与静止物体的碰撞 动量和冲量 物体之间的碰撞 旋转距的计算 游戏中的运动问题 一维运动问题 物体运动一定会有速度，在游戏中速度采用矢量描述。在一维空间里，速度用正和负来区分其运动速度的大小和方向。如果物体的速度恒定，速度和位移之间的关系如下： d=v*t 其中d表示物体移动的位移，v表示物体运动的速度，t表示运动的时间。如果物体原来的位置在d0的位置，则运行t时间后的位置为： dt=d0+v*t 通过上述表达式，可以计算出游戏中具有相同方向的运动物体每隔一段时间之后所在的位置，也就是每帧之后物体的位置。比如在笔直的公路上运行的多辆汽车的运动情况。 如果物体的运动速度不是恒定的，则可采用平均速度或即时速度来表示物体的速度。平均速度的计算可采用如下的公式。 以赛车游戏为例，如果加大油门，汽车将不断加速，如果停止踩油门，则汽车将会减速，同样，如果踩了刹车，则汽车将会以更快的速度减速。 加速度的计算可采用如下公式： 如果我们设定踩油门或者刹车的大小与加速度成正比的关系，则可计算出任一时刻汽车的加速度，当然也可计算出任一时刻汽车的速度。这样可计算出每一帧物体当前的运动速度，加速度以及当前位置。 一般而言，在游戏中为简化运算的复杂度，可是两帧之间的加速度恒定，这样可利用如下公式计算其位移： dx=(vi+vf)/2*dt=vi*dt+1/2*a*dt*dt 其中vi是物体在前一帧的速度，a为物体在 前一帧的加速度，dt为两帧之间的时间间隔。 在很多赛车游戏中，汽车的运动并不完全是直线运动，有可能做曲线运动，如下图所示。 同样可采用如下的公式计算其平均速度： 其中a为某一帧所处的时刻，h为变量。同样也可采用下面的表达式求解其当前速度。 在赛车游戏中，我们往往知道加速度，这就需要反过来求速度和位置。 二维和三维空间运动 二维和三维空间运动与一维直线或曲线运动不同的是在原来标量的基础上增加了方向，因此变成了矢量。则包括速度，位置，加速度等。 如下图所示的二维空间运动。 显然上图中?r=rf-ri 其平均速度的计算可采用下面的公式： 其它的计算方法完全一样，需要注意的是表达式中除t之外均为矢量。 旋转运动 在一些游戏中，物体可能做旋转运动，如下图所示。物体绕某一点做旋转运动时，同样也需要一些参数来度量。 同样角速度和线速度之间的关系如下所示： ω=vt/r vt= ω*r 其中v为线速度，r为旋转半径。 利用ω和vt的变化也可求出其角加速度和线加速度。 在幸运之轮（Wheel of fortune)游戏中需要根据角速度计算其角位移，并判断击中的位置。 游戏中的牛顿力学 力 游戏中的物体为什么会运动，是什么导致其运动？当然是力的作用。既然涉及到力的作用，就离不开牛顿力学。 物体重量的计算： w=mg 其中w为物体的重量，m为物体的质量，g为重力加速度。在地球上g=9.8m/s2，不同的地方其重力加速度不同。 物体在运动过程中会受到地面的摩擦力，不同的地面其摩擦力不同。摩擦力的计算方法如下： Fs=-msN 其中ms为摩擦系数，N为与作用面垂直方向上的力。静态摩擦力的方向总是和运动方向相反。 上述公式对于游戏中的某些场景的模拟具有很重要的意义。比如我们要模拟一个在斜坡上的轮子的运动。 牛顿三大定律 1. 没有力的作用物体的运动速度不会改变。 比如在Air Hockey游戏中如果假定桌面是光滑的，那么在一方击打球之后，该球的速度为[10,5], 如果没有对手击打该球，2秒钟后其速度为多少。 2. F=ma，该定律揭示了力和加速度之间的关系。通过前面的计算方法可以求出其速度，位置等。需要指出的是这儿的所有变量均可以是矢量，比如说在2D 空间中F=[Fx,Fy], 同样加速度a=[ax,ay],如果物体在平面上运动，则m相同。 3. 作用力和反作用力相同。也就是一个物体作用在另一个物体上的力的大小和另一个物体中用到该物体的力的大小相同。这在一些碰撞类游戏中可用于计算碰撞后物体的速度。 能量守恒 功和动能