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3.按应力求解平面问题的基本方程 （1）平衡微分方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （2-23） （3）边界条件： （2-18） （平面应力情形） 说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。 （2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。 总结： 按应力求解平面应力问题时，（1）应力分量在区域内满足平衡微分方程（2-2）；（2）在区域内满足相容方程（2-23）；（3）在边界上满足应力边界条件（2-18），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。 例8 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） 解 （a） （b） （1） 将式（a）代入平衡方程： （2-2） —— 满足 将式（a）代入相容方程： ∴　式（a）不是一组可能的应力场。 （2）平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题中 （2-16） —— 平面应变问题的物理方程 注： (2) 平面应变问题 物理方程的另一形式： 由式（2-13）第三式，得 （2-13） (1) 平面应变问题中 ，但 （3）两类平面问题物理方程的转换： （2-16） —— 平面应变问题的物理方程 —— 平面应力问题的物理方程 （2-15） (1) 平面应力问题 平面应变问题 材料常数的转换为： (2) 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为： §2-6 边界条件 弹性力学平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） （3）物理方程： （2-15） 未知量数： 8个 方程数： 8个 结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。 边界条件及其分类 边界条件： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 x y O q P 是力学计算模型建立的重要环节。 边界分类 （1）位移边界 （2）应力边界 （3）混合边界 —— 三类边界 一、位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： （2-17） —— 平面问题的位移边界条件 说明： 称为固定位移边界。 x y O q P 二、应力边界条件 给定面力分量 边界 —— 应力边界 x y O dx dy ds P A B px py n 由前面斜面的应力分析，得 式中取： 得到： （2-18） 式中： l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如： —— 平面问题的应力边界条件 当边界为坐标面时： 特例 ： 1、如垂直 x 轴的边界BC(正坐标面）： 2、如垂直 x 轴的边界AD (负坐标面） ： 3、如垂直 y 轴的边界AB(正坐标面）： 4、如垂直y 轴的边界DC(负坐标面）： O x y O x y A B C D c d b a 例1 如图所示，试写出其边界条件。 x y a h h q (1) (2) (3) (4) 说明： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果： 例2 如图所示，试写出其边界条件。 (1) A B C x y h p(x) p0 l AB段（y = 0）： 代入边界条件公式，有 (2) BC段（x = l）： (3) AC段（y =x tan β）: n 例3 图示水坝，试写出其边界条件。 左侧面： 由应力边界条件公式，有 右侧面： 例4 图示楔形体，试写出其边界条件。 图示构件，试写出其边界条件。 例5 例4 图示楔形体，试写出其边界条件。 上侧： 下侧： 图示构件，试写出其应力边界条件。 例5 上侧： 下侧： N 例6 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。 解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即 AB 边界： 由应力边界条件公式，有 （1） AC 边界： 代入应力边界条件公式，有 （2） ∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴满足式（1）和（2），解得 ∴ A 点处无应力作用 三、混合边界条件 (1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如： 图(a)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 图(b)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 平面问题的基本方程 1. 平衡微分方程 （2-2） 2. 几何方程 （2-9） 3. 物理方程 （平面应力问题） （2-15） 4. 边界条件 位移： （2-17）