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第5章 平面问题有限元分析§5–1 引 言§5–2 常应变三角形单元§5–3 矩形双线性单元§5–4 平面等参单元水坝弹性力学的基本方程一、弹性力学与结构力学的区别浅梁平截面假设成立深梁二、弹性力学平面问题的两种类型（一）.平面应力问题（二）.平面应变问题dyuudxDCuA(x,y)AB二、弹性力学平面问题的两种类型水坝（一）.平面应力问题（二）.平面应变问题 三、几何方程---位移与应变之间的关系设物体内任意一点A的位移为应变为微元体只有水平位移时三、几何方程---位移与应变之间的关系设物体内任意一点A的位移为dy应变为uudxDC微元体只有水平位移时uAB三、几何方程---位移与应变之间的关系微元体只有水平位移时dyuudxDCuABvDCvv----几何方程AB微分算子矩阵只有竖向位移时将平面应力问题的弹性矩阵中的E换成 换成 。四、物理方程---应力与应变关系对于平面应力问题由广义虎克定律其中:弹性矩阵应力向量应变向量对于平面应变问题YX五、平衡方程---应力与外力关系体内微元体 边界微元体一.应力与体积力关系-----平衡微分方程---体积力五、平衡方程---应力与外力关系体内微元体 边界微元体一.应力与体积力关系-----平衡微分方程设YX二.应力与表面力关系-----应力边界条件---表面力六、虚功方程、结构势能 表达式外力势能应变能结构势能:23水坝4156 第5章 平面问题有限元分析§5–1 引 言一、连续体问题的特殊性二、常见的二维平面单元三、离散化时应注意的问题 平面问题没有天然的结点或边界将其分割，因此通常人为地利用假想的线或者面将连续体分割成有限个部分，每一部分即为单元。 第5章 平面问题有限元分析§5–1 引 言一、连续体问题的特殊性二、常见的二维平面单元三、离散化时应注意的问题 第5章 平面问题有限元分析三、离散化时应注意的问题1、对于同一问题，采用不同的单元会有不同的精度，一般而言，比较复杂的单元精度越高；2、在边界曲折、应力集中处单元的尺寸要小；3、划分单元时，要注意集中力的作用点及分布力突变的点最好选为结点。 第5章 平面问题有限元分析三、离散化时应注意的问题4、厚度变化、物理特性变化应当在划分单元时进行区分。5、单元形态一般也会影响到计算的精度，三角单元以内角接近60度最好。同一单元最大最小尺寸近可能接近。6、相邻单元尺寸应当尽可能相近。 第5章 平面问题有限元分析1、建立坐标系；2、划分单元网格； 第5章 平面问题有限元分析1、建立坐标系；2、划分单元网格；3、将荷载及位移约束表示在相应的结点上；4、对四个结点和单元编号； 第5章 平面问题有限元分析5、用数组给出结点坐标，构建反应单元构成和单元内的结点次序的单元节点信息数组。结点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标10030h2L04Lh单元结点信息单元号（1）（2）内部次序123123点号312243 第5章 平面问题有限元分析1、建立坐标系；2、划分单元网格；3、将荷载及位移约束表示在相应的结点上；结点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标10030h2L04Lh水坝 第5章 平面问题有限元分析5.2 常应变三角形单元一.离散化单元编码结点编码整体编码结点位移编码二.单元分析（广义坐标法）单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序单元结点位移向量单元结点力向量单元体积力向量单元边界外力向量二.单元分析（广义坐标法）单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序单元结点位移向量其中三角形面积1.单元位移设单元内位移为在单元结点处有代入上式,得解方程,得其中1.单元位移三角形面积设单元内位移为在单元结点处有代入上式,得整理后,得解方程,得其中1.单元位移其中同理整理后,得其中---形函数矩阵---形函数1.单元位移其中同理形函数性质:1.若 2.中包含刚体位移杆系单元形函数 广义坐标法 试凑法 本点1，它点0，和为1。..---形函数矩阵---形函数2.形函数的性质若则若则2.形函数的性质若则..若则由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移.2.形函数的性质.单元边界上,形函数的值只与该边界的两个结点的坐标有关,与另一结点坐标无关...12以i、j边为例：i、j边的直线方程为在i、j边上=常数=0由此性质可知：单元间的位移是协调的。ky?Pjk?PikP?PijjixL i= ?P jk/ ?ijkL j= ?P ik/ ?ijk面积坐标L k= ?P ij/ ?ijk二.单元分析（面积坐标法）1 .面积坐标 三角形单元中任一点P 可用直角坐标 (x , y)表示。连P i、 P j、 P k，则可得三个小三角形。它们和大三角形?123的面积比，记作 由于 Li+