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第六章 MATLAB数值计算 数据处理与多项式计算 数值微积分 离散傅里叶变换 线性方程组求解 非线性方程与最优化问题 常微分方程的数值求解 稀疏矩阵 例 求向量x的最大值。 命令如下： x=[-43,72,9,16,23,47]; y=max(x)%求向量x中的最大值 y=72 [y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置 y=72 l=2 例：求向量x的平均值和中值，操作如下： y=[9,-2,5,6,7,12]; mean(y) ans =6.1667 median(y) ans =6.5000 例6.2 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。 A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]; S=prod(A,2) S =24168011880 prod(S) %求A的全部元素的乘积。也可以使用命令prod(A(:)) ans = 0 例6.3 求向量X=(1！，2！，3！，…，10！)。 X=cumprod(1:10) X = Columns 1 through 612624120720 Columns 7 through 10504040320362880 对于具有N个元素的数据序列，标准方差的计算公式如下： 例6.4 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。 x=[4,5,6;1,4,8]% 产生一个二维矩阵x y1=std(x,0,1) y2=std(x,1,1) y3=std(x,0,2) y4=std(x,1,2) 例6.6 对下列矩阵做各种排序。 6.1.2 数据插值 在工程测量和科学实验中，所得到的数据通常都是离散的。如果要得到这些离散点以外的其他点的数值，就需要根据这些已知数据进行插值。例如，测量得n个点的数据，这些数据点反映了一个函数关系，然而并不知道 f(x) 的解析式。数据插值的任务就是根据上述条件构造一个函数使得对于 有，且在两个相邻采样点，g(x)光滑过渡。插值函数一般由线性函数、多项式、样条函数或这些函数的分段函数充当。 x=0.46:0.01:0.49;%给出x，f(x) f=[0.,0.,0.,0.]; format long interp1(x,f,0.472)%用默认方法，即线性插值方法计算f(x) interp1(x,f,0.472,nearest) %用最近点插值方法计算f(x) interp1(x,f,0.472,spline) %用3次样条插值方法计算f(x) interp1(x,f,0.472,cubic)%用3次多项式插值方法计算f(x) format short T=0:5:65; X=2:5:57; F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,... 6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6]; F1=interp1(T,F,X)%用线性插值方法插值 F1=interp1(T,F,X,nearest)%用最近点插值方法插值 F1=interp1(T,F,X,spline)%用3次样条插值方法插值 F1=interp1(T,F,X,cubic)%用3次多项式插值方法插值 6.1.3 曲线拟合 与数值插值类似，曲线拟合的目的也是用一个较简单的函数去逼近一个复杂的或者未知的函数，所依据的条件都是在一个区间或一个区域上的有限个采样点的函数值。数值插值要求逼近函数在采样点与被逼近函数相等，但由于实验或测量中的误差，所获得的数据不一定准确。在这种情况下，如果强求逼近函数通过采样点，显然是不够合理的。为此，构造函数y=g(x)去逼近f(x) ，这里不要求曲线g(x) 严格通过采样点，但希望g(x)能尽量地靠近这些点，就是使误差g(xi)-f(xi) 在某种意义上达到最小。 MATLAB曲线拟合的最优标准是采用常见的最小二乘原理，所构造的g(x)是一个次数小于插值节点个数的多项式。 A=[1,8,0,0,-10];% 多项式系数 x=[-1,1.2;2,-1.8]% 给出一个矩阵x y1=polyval(A,x)% 计算代数多项式的值 y2=polyvalm(A,x)% 计算矩阵多项式的值 6.2 数值微积分 上述式子中，均假设，如果去掉上述等式右端的的极限过程，并引进记号： 称及分别为函数在x点处以h为步长的向前差分、向后差分和中心差分。当步长h充分小时，有 和差分一样，称及分别为函数在以h为步长的向前差商、向后差商和中心差商。 当步长h充分小时，函数f在x点的微分接近于函数在该点的任意种差分，而f在x点的导数接近于函数在该点的任意种差商。 2. 数值微分