数学建模-人口增长模型.docVIP

数学建模 人口增长模型 姓名 李伟东 班级 物联网21 学号 2120509011 人口增长模型 摘要 本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。 首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，从而可以预测2010年的人口数为333.8668百万。 然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。 关键字：人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型 问题重述： 表1 该地区人口统计数据 年 份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 年 份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 人口 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 年 份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3 问题分析 首先，我们运用软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。 x=1800:10:2000; y=[7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3]; figure; plot(x,y,r*); 图1 1800年到2000年的人口数据图 从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。 所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。 随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。 模型建立 符号说明 时刻的人口数量 初始时刻的人口数量 人口增长率 环境所能容纳的最大人口数量，即 模型一：二次函数模型 我们假设该地区时刻的人口数量的人口数量是时间的二次函数，即： 我们可以根据最小二乘法，利用已有数据拟合得到具体参数。即，要求、和，使得以下函数达到最小值： 其中是时刻该地区的人口数，即有： 令，可以得到三个关于、和的一次方程，从而可解得、和。 我们用编程（见附件2），解得0.006018，,，即： 从而我们可以预测2010年的人口数为百万。 x=1800:10:2000; y=[7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3]; plot(x,y,r*); % 画点，红色 hold on; % 使得以下图形画在同一个窗口 p = polyfit(x,y,2) % 多项式拟合，返回系数p xn = 1800:5:2010; % 定义新的横坐标 yn = polyval(p,xn); % 估计多项式p的函数值 plot(xn,yn) % 把(x,yn)定义的数据点依次连起来 % 给图形加上图例 xlabel(年份); ylabel(人口数); legend(原始数据,拟合函数,2); box on; grid on; x1=2010; y1 = polyval(p,x1) % 估计多项式p在未知点的函数值 图2 二次函数模型的拟合效果图 图2是所得到的二次函数模型和原数据点的拟合效果图。 从图2可以看出拟合的效果在1950年之前还可以，但是对后期的数据拟合的不好。 模型二：阻滞增长模型 我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口增长速度会慢慢下降： 人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数，当时，增长率为0： 由上面的关系式可得出： 把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件，可以得到： 解得：