各项系数都是实数的二次型称为实二次型.pptVIP

例6 证明：如果实对称矩阵A还是幂零矩阵，即A2=0，则 A=0. 解 因为A是实对称矩阵，所以必有正交矩阵Q，使得 又已知 A2=0，则 再根据（1）式 例7 用正交变换化二次型为标准形，并求出正交变换： 解 二次型 f 对应的矩阵为 由于 将向量 正交化，得 取 则 是正交向量组。再将它们标准化，得 所以 A 的特征值为： A 对应于 的 特征向量是 A 对应于 的特征向量是 从而，得正交矩阵 在正交变换 下，得到二次型的标准形 例8 用配方法化二次型为标准形，并给出线性变换： 解 对给定的二次型配方得： 再令 并记 则有标准形 所用线性变换为 * 第二十九讲 线 性 代 数 主讲人：黄万风 总学时：32学时 定义1 个变量 的二次齐次多项式 称为 元二次型．各项系数都是实数的二次型称为实二次型；各项系数为复数的二次型称为复二次型． 变量 的二次型的一般表达式为 ． 若令 并将 写成 ，上面的二次型(1)又可表示成 第五章 二次型与对称矩阵 第一节 二次型及其矩 上式中的对称矩阵 称为二次型 的矩阵．矩阵 的秩定义为二次型 的秩． 今设 ， 或 （3） 则二次型(1)又可写成矩阵乘积的形式 例1 求出下列二次型的矩阵 解 二次 型的矩阵为 二次型 的矩阵为 . 从例1中我们看到，一个二次型只含平方项，则其矩阵必是对角矩阵．反之，如果二次型的矩阵为对角矩阵，则该二次型只含平方项． 只含平方项的二次型称为二次型的标准形． 正如二次曲线方程的化简一样，我们希望能把一般的二次型化简到只含平方项，即化为标准形．这就要用到线性变换． 定义2 从变量 到变量 的一组线性关系式 （4） 叫做一个线性变换． 上式中的矩阵 称为变换矩阵.当 可逆时，(4)或(5)称为可逆线性变换(或称满秩线性变换、非退化线性变换)；当 不可逆时，则称为不可逆线性变换(或称降秩线性变换、退化线性变换)．当线性变换(5)可逆时，线性变换 (5)′称为(5)的逆变换． 它是与(5)同一实质内容的线性变换．(5)与 互为逆变换．今后我们所关心的，就是用可逆线性变换化简二次型． 若记(后文中沿用，不再说明) 线性变换(4)可表示为 （5） ， 变量 的二次型 经可逆线性变换 化为 记 ，则由 知， 也是一个对称矩阵， 是新变量 的一个二次型．变换前后两个二次型矩阵 间的这种关系称为合同关系． 则说矩阵 与 合同(或相合)，记作 ． 定义3 对于 阶矩阵 ，如果有 阶可逆矩阵 使得 ， 合同关系具有反身性、对称性与传递性．当矩阵 可逆时，对方阵 进行的运算 称为对 的合同变换， 称为合同因子． 综上可知，如果二次型 经可逆线性变换化为二次型 ，则所得二次型的矩阵