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计算物理 有限元方法 泛函和变分的基本概念*(1/4) 泛函和变分的基本概念*(2/4) 泛函和变分的基本概念*(3/4) 泛函和变分的基本概念*(4/4) 最简泛函的极值问题*(1/9) 最简泛函的极值问题*(2/9) 最简泛函的极值问题*(3/9) 最简泛函的极值问题*(4/9) 最简泛函的极值问题*(5/9) 最简泛函的极值问题*(6/9) 最简泛函的极值问题*(7/9) 最简泛函的极值问题*(8/9) 最简泛函的极值问题*(9/9) 其它类型泛函的极值问题*(1/4) 其它类型泛函的极值问题*(2/4) 其它类型泛函的极值问题*(3/4) 其它类型泛函的极值问题*(4/4) 泛函和变分用于……*(1/1) 物理问题的变分原理(1/3) 物理问题的变分原理(2/3) 物理问题的变分原理(3/3) 泊松方程的有限元方法(1/11) 泊松方程的有限元方法(2/11) 泊松方程的有限元方法(3/11) 泊松方程的有限元方法(4/11) 泊松方程的有限元方法(5/11) 泊松方程的有限元方法(6/11) 泊松方程的有限元方法(7/11) 泊松方程的有限元方法(8/11) 泊松方程的有限元方法(9/11) 泊松方程的有限元方法(10/11) 泊松方程的有限元方法(11/11) 扩散方程的有限元方法(1/1) 波动方程的有限元方法(1/1) 作业 构造线性插值函数 G1 G2 G2 G2 x y O ③ ① ② ④ 1 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ √ 建立单元的矩阵 建立顶点和结点的对应关系 V (e, i) G1 G2 G2 G2 x y O ③ ① ② ④ 1 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ √ 集成泛函和建立方程 求解方程 √ 例：如下图的环形均匀带电板，内径 6，外径 10，外圈 G1 的电势为常数，内圈 G2 的电场为常数 G1 G2 6 10 考虑对称性，取 1/4 环形区域以简化计算 G2 G1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 1 2 3 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ √ 二维扩散方程 离散化 关于 ai(t) 的常微分方程组 初始条件 求解方法：二级欧拉法 √ * * 3/lesson/ComputationalPhysics 有限元方法 泛函和变分的基本概念* 最简泛函的极值问题* 其它类型泛函的极值问题* 泛函和变分用于微分方程边值问题* 物理问题的变分原理 泊松方程的有限元方法 扩散方程的有限元方法 波动方程的有限元方法 √ 泛函的定义 例(最短路径)：设 C 为定义在 [a, b] 上、满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段曲线的长(如右图所示)，L = L[y(x)] 问题：沿哪一条路径的路程最短 函数的形式 y(x) 不同 a b O y x A O y x B 例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动，所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图所示)，T = T [y(x)] 问题：沿哪一条路径的下落时间最短 函数的形式 y(x) 不同 √ 定义：设 C 是函数(形式)的集合，B 是实数集合；如果对 C 中的任一元素 y(x)，在 B 中都有一个元素 J 与之对应，则称 J 为 y(x) 的泛函，记为 J [y(x)] 泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量 最短路径：L = L[y(x)] 捷线问题：T = T [y(x)] 最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函 其中 F ( x, y, y ) 的称为核函数 √ 函数的变分和泛函的变分 定义：设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数，如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x)，则 Y(x) 与 y(x) 之差 d y = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分 函数变分和微分的比较 变分和微分都是自变量 x 的函数 微分是同一个函数 y(x)，由于自变量 x 的取值不同而导致函数值 y 的变化；变分是由于函数形式的不同而导致函数值的变化 函数求导和求变分可以交换次序 √ 最简泛函的一阶和二阶变分 其中 d J 称为泛函的一阶变分，d 2J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0 √ 最简泛函的欧拉方程 最简泛函的极值——欧拉方程 欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小 通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程 例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程 √ 例：求以下最简泛函的极值问题 核函数和微分方程 满足边界条件的