三角函数的周期函数.doc

如何求三角函数的周期 三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期　 , 　 ． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使成立，同时考虑到正弦函数的周期是． 解：∵ , 即 ． ∴ 当自变量由增加到时，函数值重复出现，因此的周期是． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值都能使 成立，同时考虑到正切函数的周期是． 解：∵ , 即．　 ∴ 函数的周期是． 注意：1、根据周期函数的定义，周期是使函数值重复出现的自变量的增加值， 如周期不是，而是； 2、是定义域内的恒等式，即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期 对于函数或的周期公式是， 对于函数或的周期公式是． 例3 求函数的周期 解： ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例4 求函数的周期 解： ∴ ．例5 已知函数求周期 解：∵∴ ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期 例6 求函数 的周期 解：∵ ∴ ． 例7 求函数的周期 解：∵∴ 函数的最小正周期 ． 5、若函数，且，都是周期函数，且最小正周期分别为，如果找到一个正常数, 使， (均为正整数且互质)，则就是的最小正周期． 例8 的周期 解：∵ 的最小正周期是， 的最小正周期是．∴ 函数的周期 ，把代入得 ，即，因为为正整数且互质， 所以 ．函数的周期． 例9 求函数的周期 解： ∵ 的最小正周期是，的最小正周期是， 由， ， (为正整数且互质), 得 ． 所以 函数的周期是．函数的周期性 --函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中突然出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。 （若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证) 6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（ab）,则4（b-a）是f（x）的周期。举例:y=sinx,等. 三.双基题目练练手 1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A．5B．4C．3 D．2 2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为（ ） A．π-5B.5-π C.4-π D. π-4 3. 是偶函数，且 为奇函数，则f(1992)=4.设存在常数p0,使 ，则 的一个周期是，f(px)的一个正周期是； 5.数列 中简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。 四.经典例题做一做 【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数 ∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x∈(1,2). 解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数 ∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈（-1