三角函数中半角公式的推导与证明.doc

根据倍角公式得：coa2a=1-2sin2α,可得cosa=1-2sin2(α/2),可得1-cosa=2sin2(α/2),可得sin2(α/2)=（1-cosa）/2,可得,sin((a/2)=根号（1-cosa）/2）cos2(α/2)=1-sin2(α/2)所以：cos2(α/2)=1-（1-cosa）/2=（1+cosa)/2所以:cos(a/2)=根号(1+cosa)/2因为：tana=sina/cosa所以:tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2)所以：tan(a/2)=根号（（1-cosa）/（1+cosa)) 于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=600?；?③点D在AB的中垂线上； ④S△DAC∶S△ABC=1∶3 A．1B．2C．3D．4 [1+cos(a)]/2 =1/2+1/2cos(a/2+a/2) =1/2+1/2[cos^2(a/2)-sin^2(a/2)] =1/2-1/2sin^2(a/2)+1/2cos^2(a/2) =1/2cos^2(a/2)+1/2cos^2(a/2) =cos^2(a/2)（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由． 解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA=90° AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中， FB=FA ?∠FBD=∠FAE? BD=AE，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF． 如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连接EF．现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连接AP．（1）求证：PC=PA=PG；（2）设EP=x，四边形BCPG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，现有三个数 1 2 ， 9 8 ， 7 4 试通过计算说明哪几个数符合y值的要求，并求出符合y值时的x的值；（3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连接MN．当旋转到使MN= 10 7 时，求△APM的周长． 解：（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF= 1 2 BC=1，EF∥BC，∴EF垂直平分AC，∴AP=PC，∴∠ECP=∠EAP；∵∠CPG=90°，∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，∴∠ECP=∠GPF．∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，∠EAP+∠PAF=45°，∴∠