三角函数-5两角和与差倍角--教师.doc

两角和与差的正弦、余弦和正切 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5) tan(α＋β)＝；(6) tan(α－β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin 2α＝2sin_αcos_α； (2) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3) tan 2α＝. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 双基自测 1．下列各式的值为的是( )． A．2cos2 －1 B．1－2sin275° C. D．sin 15°cos 15° 解析 2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos 150°＝－；＝ tan 45°＝1；sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 2．若tan α＝3，则的值等于( )． A．2 B．3 C．4 D．6 解析 ＝＝2tan a＝2×3＝6，故选D. 3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )． A．－B．－C.D. 解析 cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 4．设sin＝，则sin 2θ＝( )． A．－ B．－ C.D. 解析 sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－. 5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20° tan 40°＝________. 解析 tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°·tan 40°，原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 考向一 三角函数式的化简 【例1】化简. [审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式． 解 原式＝ ＝＝＝cos 2x. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则： (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：. 解 原式＝ ＝＝＝＝tan. 考向二 三角函数式的求值 【例2】已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值． [审题视点] 拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． 解 0＜β＜＜α＜π，－＜－β＜，＜α－＜π， cos＝ ＝， sin＝ ＝， cos＝cos＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． (2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系． 【训练2】 已知α，β，sin α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值． 解 α，β，－＜α－β＜， 又tan(α－β)＝－＜0，－＜α－β＜0. ＝1＋tan2(α－β)＝. cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－. 又sin α＝，cos α＝. cos β＝co