三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例.doc

三角公式总表 ⒈L弧长=R= S扇=LR=R2= ⒉正弦定理：=== 2R（R为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac c=a+b-2ab⒋S⊿=a=ab=bc=ac==2R ====pr= (其中, r为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①=== ② ③④ ⑤⑥ ⑵倒数关系： ⑶平方关系： ⑷ （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且） ⒍函数y=k的图象及性质：（） 振幅A，周期T=, 频率f=, 相位，初相 ⒎五点作图法：令依次为 求出x与y， 依点作图 ⒏诱导公试 sin cos tg ctg - - + - - - + - - - + - - + + 2- - + - - 2k+ + + + + 三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 sin con tg ctg + + + + + - - - - - + + - + - - 三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限⒐和差角公式 ① ②③④ ⑤ 其中当A+B+C=π时,有: i). ii). ⒑二倍角公式：(含万能公式) ① ② ③ ④ ⑤ ⒒三倍角公式： ① ② ③ ⒓半角公式：（符号的选择由所在的象限确定） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⒔积化和差公式：⒕和差化积公式： ① ② ③ ④ ⒖反三角函数： 名称 函数式 定义域 值域 性质 反正弦函数 增 奇 反余弦函数 减 反正切函数 R 增 奇 反余切函数 R 减⒗最简单的三角方程 方程 方程的解集等差数列求和公式的四个层次等差数列前n项和公式,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列的公差为d,如果它的前n项和,那么( ).(1992年三南高考试题) (A)(B) (C)(D) 解法1 由于且知, 选(C). 解法2 对照系数易知 此时由知故选(C). 例2 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求等差数列的通项.(1997年全国高考文科) 解 设的通项为前n项和为 由题意知, 即 化简可得解得或 由此可知或 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或 2.逆向活用公式 在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性. 例3 设求证: (1985年全国高考文科) 证明 又 又 且 例4 数列对于任意自然数n均满足,求证: 是等差数列. (1994年全国高考文科) 证明 欲证为常数, 由及可得 推出 作差可得因此 由递推性可知: 为常数),所以命题得证. 这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗? 3.横向联系,巧用公式 在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2. 解 设,则可得 解得或,所以或 从而或 例5 设等差数列的前项和为,已知指出中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题) 解 由于表明点列 都在过原点的抛物线上,再由 易知此等差数列公差d0,且图象如图所示, 易知其对称轴为, 于是,故最大. 4.恰当变形妙用公式 对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性. 对于公式,变形可得 , 对于公式,变形可得 它表明对于任意,点列都在同一直线上. 例6 等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ) (A)130(B)170(C)210(D)260(1996年全国高考试题) 解法1又由于, ,, 从而选(C). 解法2 由于点在同一直线上,因此 ,化简可得:,选(C). 在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法. 解法3 由于点列均在同一直线上,说明数列成等差数列,从而可得 ,