复变函数习题.pptVIP

第二章 解析函数 本章主要内容 本章主要内容 主要内容 N. Abel 简介 内容提要 例 题 习题5 计算积分 解法1： 由 都是偶函数 则 解法2： 解法3： 则 从而f(z)有m阶极点z = 0和一阶极点z = 1/2 n = m -1时，可求得 习题6 计算积分 解： 在上半平面内有一级极点 解 解 例2 求函数 的奇点，并确 定类型. 解 是奇点. 是二级极点; 是三级极点. 例3 证明 是 的六级极点. 证 4. 5. P78页13大题(1)(3)小题 习题1 解 由Cauchy积分公式 解 根据Cauchy积分公式知, 习题2 =-12+13i 分区间 讨 论 =-12p+26pi 解 习题3. 由复合闭路定理, 得 习题4. 解： 由复合闭路定理，得 原式 因此由柯西积分公式得 习题5 解: (1) 而ez在内解析，由高阶导数公式得： (3)由复合闭路定理有 cosz在C1,C2内解析，由高阶导数公式得： 直接等于0 复数项级数 函数项级数 充 要 条 件 必 要 条 件 幂级数 收敛半径R 复 变 函 数 绝 对 收 敛 运算与性质 收敛条件 条 件 收 敛 复数列 收敛半径的计算 Taylor 级数 Laurent级数 1802.8.5生于挪威；1829.4.6在挪威去世。 1821秋进入大学； 1822发表了函数方程和积分方程两篇论文； 1823考虑五次方程求通解； 1824将小册子自费出版； 1825开始海外之旅； 1827在朋友的赞助下回国； “穷得就象教堂里的老鼠” 开创群论，由此研究代数； 在分析方面有许多工作，并由此开创了椭圆函数论。 5. 将下列各函数展开为z的幂级数，并指出 收敛区域。 解： a≠b时 a=b时，则 比值法、根值法 解2： 解3： 因为1为f(z)的唯一奇点，故收敛半径R1. 解2： f4(0)=1 解3： 7. 指出下列函数在指定点z0处的泰勒展开式。 解： 解2： 依此类推 8. 将下列函数在指定圆环内展开为洛朗级数。 解1： 解2： 解： 解1： 解2： 留数 计算方法 可去奇点 孤立奇点 极点 本性奇点 函数的零点与 极点的关系 留数定理 留数在定积分 计算中的应用 习题1. 解法1： 令2q = t,则 原式 原式 而z1位于积分区域|z|=1内， z2位于|z|=1外 故原式 解法2： 错误1： 错误2： 解法4： 错误3： z = 0为f(z)的可去奇点 解： 为一级极点, 为二级极点, 习题2 计算积分 C为正向圆周: 习题3 计算积分 C为正向圆周: 解： 被积函数 有四个一级极点 都 在圆周 的内部 , 所以 由规则3 习题4 计算积分 C为正向圆周 : 解： 奇点为z=0,1,3 被积函数 z=3在圆外 所以 因此 * 复数 平面表示法 三角表示法 曲线与区域 球面表示法 复数表示法 指数表示法 复数的运算 共轭运算 代数运算 乘幂与方根 本章主要内容 向量表示法 极限与连续 §1 解析函数的概念 §2 解析函数与调和函数 §3 初等函数 复变函数 解析函数与调和函数 初等解析函数 判别方法 可导 解析 指数函数 对数函数 三角函数 双曲函数 幂 函 数 反三角、反双曲函数 2.2 函数在何处可导，何处不可导， 何处解析，何处不解析？ 解 这里 故f(z)仅在z=0处可导，处处不解析。 令ux=vy, uy=-vx得x=y=0 解 这里u=x2,v=y2. ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y 令ux=vy, uy=-vx得x=y. 故f(z)在直线x=y上可导，处处不解析。 解 这里u=x3-3xy2, v=3x2y-y3. 四个偏导数连续，且ux=vy, uy=-vx处处成立. 故f(z)在复平面处处可导，处处解析。 解 这里u=sinxchy, v=cosxshy. 四个偏导数连续，且ux=vy, uy=-vx处处成立. 故f(z)在复平面处处可导，处处解析。 2.4 若函数f(z)在区域D内解析，并满足 下列条件之一，证明f(z)必为常数。 证明：f(z)在区域D内在解析，故满足C-R条件 而 也在D内解析，也满足C-R条件 (2) v=u2 证明 f(z)=x+ix2 u= -i/2 (3) argf(z)在D内为常数 证明1：设f(z)=u+iv，当u=0时，易知v为常数。 当u≠0时，设 证明2 设f(z)=r(x,y)[cos(q)+isin(q)] q为常数 (1) (2