复变函数146603.pptVIP

序言 通过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物 理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方 法。培养学生用数学方法和物理规律解决各类物 理、工程技术实际问题的能力。为后续电动力学、 量子力学、固体物理、激光原理与激光技术、电磁 场与电磁波、固体电子学导论、信号与系统、数字 信号处理、光学图像处理等课程的学习打下良好的 基础。 将数学思想方法应用于现代高新技术专业领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。 柯朗(德国著名数学家,出生于1888年1月8日)曾经描述：“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面，甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体性。而且在许多情况下，物理学家也不再体会数学家的观点，这种分裂无疑地对于整个科学界是一个严重的威胁。 科学发展的 洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠，以至于干涸，因此有必要引导我们的努力转向于将许多有特点的和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明，以重新统一这种分离的趋向” 或许我们今天所应做的正是柯朗所指出的。数学物理方法也正是将这种分裂进行重新统一并实现有机结合的具体体现。 基本要求： 1能够对比较简单的物理问题建立数学模型 2能搞熟练应用最基本的求解方法（分离变量），求解线性偏微分方程的定解问题。 3初步学会根据方程及其解对物理问题进行分析，较大提高数学修养。 本门课程的教学内容主要包括复变函数、数学物理方程两部分。复变函数是一门基础数学课程，与微积分学具有几乎同等重要的地位。它是进一步学习数学物理方程和特殊函数的基础。其本身在物理、力学和工程问题中也具有多方面的应用。数学物理方程主要研究物理或工程问题中所涉及的各种偏微分方程和积分方程。内容包括方程的导出、求解和对解的物理分析。即在一定的条件下（忽略一些次要因素），将物理问题简化，应用物理学的基本规律将它翻译成数学问题，求解之后，分析所得解的物理图象、意义和适用范围等。它所提供的方法在经典物理、近代物理和工程技术中都有极广泛的应用 数学物理方法 第一篇 复变函数论 《复变函数论》 主要内容 主要包括以下几方面的内容： 一、复变函数 二、复变函数的积分 三、幂级数展开 四、留数定理 五、傅里叶变换 六、拉普拉斯变换 第一章 复变函数 一. 复数 二. 复数的表示法 三. 复数的运算 四. 区域 五. 复变函数 六. 复变函数的导数 七. 解析函数 八. 解析的充分必要条件 九. 初等解析函数 复数是实数域的扩大，复变函数是实变函数的推广， 自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如： 负数不能开偶数次方； 负数没有对数； 指数函数无周期性； 正弦、余弦函数的绝对值不能超过1； …… 等已经不复存在. 1.1 复数与复数的运算1.1.1 复数概念 实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的. 尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的. 解释： 复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性质. 1.1.2 复数的表示 1.复数的几何表示 复数的几何表示 直角坐标表示 3.复数的指数表示 4 .共轭复数 例 求1的n次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置. 1.2 复变函数 复变函数的基本概念是实变函数基本概念 的推广，因此我们所叙述的复变函数的概念、极限概念、函数连续与可微等概念与高等数学中的概念叙述相似. 1.2.2 初等解析函数 本节作业 设 D 是一个复数 i Z=x+y 的集合，若对每一个 Z值 ，按 照一定的法则，总有一个或几个复数 w=u +iv 与之对应，则 称复变量 w 为复数 z 的 复变函数 ，记为： (z) f = w . 其中 D 称为函数 (z) f 的定义域，函数值 w 的全体所构成的 集合称为函数 f 的值域. 把 z 称为函数的 自变量 ， w 称 为 因