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4-2　力矩　转动定律　转动惯量 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 O 二 转动定律 (1) 单个质点 与转轴刚性连接 (2) 刚体 质量元受外力 ,内力 外力矩 内力矩 O 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 转动定律 定义转动惯量 O 讨论 （1） （2） （3） =常量 转动定律 三　转动惯量 J 的意义：转动惯性的度量。 转动惯量的单位：kg·m2 质量离散分布 J 的计算方法 质量连续分布 ：质量元 ：体积元 解：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直 例：如图求质量为m，长为l 的均匀细棒的转动惯量： (1)转轴通过棒中心并与棒垂直; (2)转轴通过棒一端并与棒垂直。 在棒上距轴O的为x处取长度为dx的质元，设棒的线密度为 ，则该质元的质量dm＝λdx。该质元对中心轴的转动惯量为 整个棒对中心轴的转动惯量为 (2) 转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为 由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同。 解：(1) 如图(a)所示，在环上任取一质元，质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量 例：设质量为m，半径为R 的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量。 考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为 (2)整个圆盘可看成由半径不同的同心圆环构成，为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图(b)，其面积为 设圆盘的面密度 ，则小圆环的质量dm＝σdS＝σ2πrdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为 则整个圆盘对中心轴的转动惯量为 以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同。 (2) 质量元的选取： 线分布 面分布 体分布 (1) 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （3）与转轴的位置有关。 （1）与刚体的体密度 有关。 （2）与刚体的几何形状(及体密度 的分布)有关。 以上例子说明 (3) 由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。 轴 球体(轴沿任一直径) 细棒(转动轴通过中心与棒垂直) 轴 几种刚体的转动惯量 轴 圆柱体(轴沿几何轴) 轴 圆柱体(轴沿几何轴) 轴 圆筒(轴沿几何轴) 细棒(轴通过棒的一端) 轴 C 四 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ， O 则对任一与该轴平行， 相距为 的转轴的转动 惯量 为： 质量为m，长为L的细棒绕其一端的 J P 圆盘对P 轴的转动惯量 O O1 d=L/2 O1’ O2 O2’ 竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？ (2) 为瞬时关系。 (3) 转动中 与平动中 地位相同。 (1) , 与 方向相同。 说明 转动定律应用 例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计。 求：(1) 两物体的线加速度为多少？ 水平和 竖直两段绳索的张力各为多少？ (2) 物体B从静止落下距离y时的速率？ 解 (1) 用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系。 A B C O O O O