34有限单元法（6学时）.pptVIP

作业: 1、均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，jm边上作用有沿y轴负方向按三角形分布的载荷，单元的厚度为1，求单元的等效结点载荷。 * 将i ，j ，m的坐标代入得： 1、三角形面积: 2、计算形函数： 解: 3、计算等效节点载荷： ∵ ∴ 在边界ij和mi上的面力为零，所以上式第一项和第三项积分应等于零。 在边界jm上的面力为： 因为积分沿逆时针方向，所以有ds= -dx 2、如图所示三角形单元的结点坐标，单元的厚度为t,材料的弹性模量为E，泊松比 ，试求该单元的刚度矩阵. 3、一平面三角形薄板构件，离散为2个单元4个节点，如图所示。已知单元①的编码顺序为（1，2，3），单元②的编码顺序为（3，4， 1）。试分别写出：（1）单元①的分块刚度矩阵；（2）单元②的分块刚度矩阵；（3）总刚矩阵的分块矩阵表达式. * * 　例　图 (a)所示为一个平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷q =100N/cm 。假定材料的弹性模量为E，泊松比μ= 0，梁厚为t = 0.1cm。在不计自重的情况下，试用有限元法计算该梁的位移和应力。 总体分析 计算实例 　　下面通过一个简单的计算实例来说明有限元法的工程应用的分析与计算过程。 图5-10 平面薄梁的受载状态及单元划分 * * 　　解： 1. 力学模型的确定 由于此结构的长度和宽度远大于梁厚，而载荷作用于梁的平面内，且沿厚度方向均匀分布，因此可按平面应力问题处理。 因为此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的，所以取其一半作为分析对象如图(b)，对称轴上的点约束横向位移为0。 图5-10 分析对象 * * 　　2. 结构离散化 由于该问题属于平面应力问题，本例题选用单元类型为三节点三角形单元。 　　然后对该结构进行结构离散化，共划分两个单元，选取坐标系，并对单元和节点进行编号如图 (b)所示。 3. 求应变距阵[B]与弹性距阵[D] 　　对单元①，见图(c)，由于节点坐标：i (0, 0)，j(6, 6), m(0, 6) 得 * * 　　求得应变距阵[B]和平面应力问题的弹性距阵[D]为 * * 　　对于单元②，见图(d)，由节点坐标：i (0, 0), j (6, 0), m (6, 6)。 同理可得单元②应力矩阵： 则得单元①应力矩阵： * * 4. 求各单元刚度距阵[K] 对于三角形单元，可得单元①的刚度距阵： * * 同理，可得单元②的刚度距阵： * * 　　5. 建立整体有限元方程式 　　根据刚度集成方法，按节点位移序号组建整体结构的总刚度距阵[K]： 　　如图(b)所示，作用在1、4边上的均布载荷按静力等效原理移置到1、4节点上，得整体结构的等效节点载荷列阵{F}： * * 进而，可得该结构的整体有限元方程式： 为 * * 6. 引入边界约束简化有限元方程组 　　由于对称轴上 u3= u4= 0，节点2为固定绞支点，即 u2= v2= 0，所以只需考虑四个位移u1, v1, v3, v4，则相应刚度方程变为 这样划去对应的行和列，上述整体有限元方程式缩减为 * * 解上面方程组，可得各节点位移： 7. 解线性代数方程组求各节点位移 计算各单元的应力： 单元①： 8. 计算各单元的应力 * * 单元②： * * 2）求单元等效结点载荷 (2) 体力的移植 令单元所受的均匀分布力为 由虚功等效原则 结点力作功 体力作功 第三章 用常应变 （3）分布面力的移植 结点力作功 面力作功 由虚功等效原则 X y i j m p 例:均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，ij边上作用有沿y轴负方向呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q ,单 元的厚度为t，试求单元的等效结点载荷。 S （ i ，j ，m轮换） 将i ，j ，m的坐标代入得： （1分） 形函数矩阵为： 解： (1）、计算形函数： (2）、计算等效节点载荷： ∴ 在边界mj和mi上的面力为零，所以上式第二项和第三项积分应等于零。 在边界ij上的面力为: qy 因为积分沿逆时针方向，所以有ds=dx 3）、由结点位移求单元的应变 根据单元的位移函数 由几何方程可以得到单元的应变表达式: [B]矩阵称为 几何矩阵 ( i, j, m 轮换 ) 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 [B]矩阵可以表示为分块矩阵的形式 [B]矩阵称为几何矩阵 或应变转换矩