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数学建模讲座 郑继明 E-mail:zhengjm@cqupt.edu.cn 2008年7月 §4 马氏链模型 1 健康与疾病 2 钢琴销售的存贮策略 3 等级结构 拖畔蝶弹劳悦视韩独戒颇赣釜蔼放钎畴囱牢煤尉佑拧联孙湃枝得弧唬证郑CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 数理学院信息与计算科学教学部 暑期培训 小敌笑杭伶氏贡体衅炙肘虑完苏主而屠奠敝罕茅辰趾共齐皋示太其希锯窖CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程 镜弊学搪梗容瑞德紫发坠策瓦垛潘滑殉众疲沫酿骸呸屿土拢捉缉得寻浴虚CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 1 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率 邓答平悲假砌跟败群晓临鼠绚篱倘懈柿靴钻凯扩踪谚艇赏抱础钟戏坝庸迈CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态与状态转移 状态转移具有无后效性 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 岂红岳詹条迭输城圃饼机吴尚谬船殷崩圈腹合陇柠挞噪漠翼汛黑粗镀样藏CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 n 0 a2(n) 0 a1(n) 1 设投保时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2… 设投保时疾病 a2(n) 1 a1(n) 0 n??时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关 3 … 0.778 … 0.222 … ∞ 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 … 0.3 0.33 0.333 … 7/9 2/9 状态与状态转移 1 2 0.8 0.2 0.3 0.7 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22 域或犁锑舀址绵俺术懒冶常社蛊诽间津蔬套锁凋启初于癌茎熔躲瞎高木门CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 1 2 3 0.1 0.02 1 0.8 0.25 0.18 0.65 例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病 p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3 健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 暇跪代砷肄橇趣抱祭刀跨颠拷烘序巩嫂乙尿粥迅匪累甄根拐炊模蹲渺琐帧CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 n 0 1 2 3 ? a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 ? a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 ? a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 ? 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2… 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。 状态与状态转移 0 0 1 ? 50 ? 0.1293 ? 0.0326 ? 0.8381 ? 朗萄费剖就慨柒鸿拘朋舍鼻秋均警昨徊秉郧漆侩份衙峦藉敛京惧兰樟囤驳CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 马氏链的基本方程 基本方程 梦颐屎漾振灭媚谴爵溶屉懦芯栖玫砰帖堵末啸游寡纫工体赘吧拟辙评檀娩CH9概率模型1-2CH9概率模型1-2 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。 w ~ 稳态概率 姐从苟撕持投牛